Номер 26.37, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.37. Докажите тождество:

1) $3 + 4 \cos 4\alpha + \cos 8\alpha = 8 \cos^4 2\alpha;$

2) $\frac{\cos^2(4\alpha - 3\pi) - 4\cos^2(2\alpha - \pi) + 3}{\cos^2(4\alpha + 3\pi) + 4\cos^2(2\alpha + \pi) - 1} = \operatorname{tg}^4 2\alpha.$

1) Докажите тождество $3 + 4 \cos 4\alpha + \cos 8\alpha = 8 \cos^4 2\alpha$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Применим эту формулу к $\cos 8\alpha$, полагая $x = 4\alpha$:

$\cos 8\alpha = 2\cos^2 4\alpha - 1$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$3 + 4 \cos 4\alpha + (2\cos^2 4\alpha - 1) = 2\cos^2 4\alpha + 4 \cos 4\alpha + 2$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\cos^2 4\alpha + 2 \cos 4\alpha + 1)$.

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат суммы:

$2(\cos 4\alpha + 1)^2$.

Далее используем формулу понижения степени $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$. Применим её к выражению $1 + \cos 4\alpha$, где $2x = 4\alpha$, следовательно, $x = 2\alpha$:

$1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha$.

Подставим полученное выражение обратно:

$2(2\cos^2 2\alpha)^2 = 2(4\cos^4 2\alpha) = 8\cos^4 2\alpha$.

Мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажите тождество $\frac{\cos^2(4\alpha - 3\pi) - 4\cos^2(2\alpha - \pi) + 3}{\cos^2(4\alpha + 3\pi) + 4\cos^2(2\alpha + \pi) - 1} = \operatorname{tg}^4 2\alpha$.

Сначала упростим тригонометрические функции в левой части, используя формулы приведения и свойство периодичности косинуса.

Для косинуса справедливы следующие соотношения:

$\cos(x \pm \pi) = -\cos x$

$\cos(x \pm 3\pi) = \cos(x \pm \pi \pm 2\pi) = \cos(x \pm \pi) = -\cos x$

Возводя в квадрат, получаем:

$\cos^2(4\alpha - 3\pi) = (-\cos 4\alpha)^2 = \cos^2 4\alpha$

$\cos^2(2\alpha - \pi) = (-\cos 2\alpha)^2 = \cos^2 2\alpha$

$\cos^2(4\alpha + 3\pi) = (-\cos 4\alpha)^2 = \cos^2 4\alpha$

$\cos^2(2\alpha + \pi) = (-\cos 2\alpha)^2 = \cos^2 2\alpha$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{\cos^2 4\alpha - 4\cos^2 2\alpha + 3}{\cos^2 4\alpha + 4\cos^2 2\alpha - 1}$

Теперь воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1$, чтобы выразить все члены через функции от $2\alpha$.

Преобразуем числитель:

$(2\cos^2 2\alpha - 1)^2 - 4\cos^2 2\alpha + 3 = (4\cos^4 2\alpha - 4\cos^2 2\alpha + 1) - 4\cos^2 2\alpha + 3$

$= 4\cos^4 2\alpha - 8\cos^2 2\alpha + 4 = 4(\cos^4 2\alpha - 2\cos^2 2\alpha + 1) = 4(\cos^2 2\alpha - 1)^2$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\cos^2 2\alpha - 1 = -\sin^2 2\alpha$. Тогда числитель принимает вид:

$4(-\sin^2 2\alpha)^2 = 4\sin^4 2\alpha$.

Преобразуем знаменатель:

$(2\cos^2 2\alpha - 1)^2 + 4\cos^2 2\alpha - 1 = (4\cos^4 2\alpha - 4\cos^2 2\alpha + 1) + 4\cos^2 2\alpha - 1 = 4\cos^4 2\alpha$.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{4\sin^4 2\alpha}{4\cos^4 2\alpha} = \frac{\sin^4 2\alpha}{\cos^4 2\alpha} = \left(\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\right)^4 = \operatorname{tg}^4 2\alpha$.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.