Номер 26.39, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.39. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha)\cos 2\alpha} \cdot \operatorname{tg} 2\alpha$, если $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

2) $\sqrt{\frac{\sin 4\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha}} \cdot \frac{1}{\sin 2\alpha} + 1$, если $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$.

1) Упростим выражение $ \sqrt{(\text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha)\cos(2\alpha)} \cdot \text{tg}(2\alpha) $, если $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Сначала преобразуем выражение под корнем. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус:

$ \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^4\alpha - \sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} $

В числителе используем формулу разности квадратов: $ \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $.

Так как $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $ и $ \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha) $, числитель равен $ \cos(2\alpha) $.

Знаменатель преобразуем с помощью формулы синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, откуда $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2} $.

Тогда $ \sin^2\alpha\cos^2\alpha = \left(\frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2(2\alpha)}{4} $.

Таким образом, $ \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{\sin^2(2\alpha)}{4}} = \frac{4\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} $.

Теперь подставим это в выражение под корнем:

$ (\text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{4\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} \cdot \cos(2\alpha) = \frac{4\cos^2(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} = 4\text{ctg}^2(2\alpha) $.

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{4\text{ctg}^2(2\alpha)} = |2\text{ctg}(2\alpha)| = 2|\text{ctg}(2\alpha)| $.

Определим знак $ \text{ctg}(2\alpha) $ из заданного условия $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Умножим неравенство на 2: $ \frac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi $. Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где котангенс отрицателен, то есть $ \text{ctg}(2\alpha) < 0 $.

Следовательно, $ |\text{ctg}(2\alpha)| = -\text{ctg}(2\alpha) $.

Исходное выражение принимает вид: $ 2(-\text{ctg}(2\alpha)) \cdot \text{tg}(2\alpha) = -2\text{ctg}(2\alpha)\text{tg}(2\alpha) $.

Так как $ \text{ctg}(2\alpha)\text{tg}(2\alpha) = 1 $, получаем:

$ -2 \cdot 1 = -2 $.

Ответ: -2

2) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{\sin(4\alpha)}{\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha}} \cdot \frac{1}{\sin(2\alpha)} + 1 $, если $ \frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi $.

Сначала упростим знаменатель дроби под корнем:

$ \text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Используя формулы двойного угла, $ \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha) $ и $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $, получаем:

$ \text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = 2\text{ctg}(2\alpha) $.

Теперь преобразуем всю дробь под корнем, используя формулу синуса двойного угла для $ \sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $:

$ \frac{\sin(4\alpha)}{\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{2\text{ctg}(2\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}} = \sin^2(2\alpha) $.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \sqrt{\sin^2(2\alpha)} \cdot \frac{1}{\sin(2\alpha)} + 1 = |\sin(2\alpha)| \cdot \frac{1}{\sin(2\alpha)} + 1 $.

Определим знак $ \sin(2\alpha) $ из заданного условия $ \frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi $.

Умножим неравенство на 2: $ \frac{3\pi}{2} < 2\alpha < 2\pi $. Этот интервал соответствует четвертой координатной четверти, где синус отрицателен, то есть $ \sin(2\alpha) < 0 $.

Следовательно, $ |\sin(2\alpha)| = -\sin(2\alpha) $.

Выражение принимает вид:

$ (-\sin(2\alpha)) \cdot \frac{1}{\sin(2\alpha)} + 1 = -1 + 1 = 0 $.

Ответ: 0