Номер 26.38, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.38. Упростите выражение:

1) $\frac{3 + 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha}{3 - 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha}$

2) $\frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha - \cos^2 \alpha}{2(\cos \alpha - 1)}$

1)

Для упрощения выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$.

Преобразуем числитель:

$3 + 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha = 3 + 4 \cos \alpha + (2\cos^2 \alpha - 1) = 2\cos^2 \alpha + 4 \cos \alpha + 2 = 2(\cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1) = 2(\cos \alpha + 1)^2$.

Преобразуем знаменатель:

$3 - 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha = 3 - 4 \cos \alpha + (2\cos^2 \alpha - 1) = 2\cos^2 \alpha - 4 \cos \alpha + 2 = 2(\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha + 1) = 2(\cos \alpha - 1)^2$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь и сократим:

$\frac{3 + 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha}{3 - 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \frac{2(\cos \alpha + 1)^2}{2(\cos \alpha - 1)^2} = (\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha - 1})^2$.

Теперь воспользуемся формулами понижения степени (или формулами половинного угла): $1 + \cos \alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$ и $1 - \cos \alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.

$(\frac{1 + \cos \alpha}{- (1 - \cos \alpha)})^2 = (\frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{-2\sin^2\frac{\alpha}{2}})^2 = (-\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}})^2 = (-\cot^2\frac{\alpha}{2})^2 = \cot^4\frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\cot^4\frac{\alpha}{2}$.

2)

Упростим числитель дроби. Выражение $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha$ можно разложить как разность квадратов:

$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, получаем:

$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha$.

Подставим это в числитель исходного выражения:

$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha - \cos^2 \alpha = \cos 2\alpha - \cos^2 \alpha$.

Снова применим формулу косинуса двойного угла, выразив его через косинус одинарного угла: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$.

$\cos 2\alpha - \cos^2 \alpha = (2\cos^2 \alpha - 1) - \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha - 1$.

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{\cos^2 \alpha - 1}{2(\cos \alpha - 1)}$.

Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$\frac{(\cos \alpha - 1)(\cos \alpha + 1)}{2(\cos \alpha - 1)}$.

Сократим дробь на $(\cos \alpha - 1)$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 1$):

$\frac{\cos \alpha + 1}{2}$.

Используя формулу половинного угла $1 + \cos \alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$, получим окончательный результат:

$\frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{2} = \cos^2\frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\cos^2\frac{\alpha}{2}$.