Страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.32. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha(\text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha)}$

2) $\frac{\sin^2 (\alpha - \pi) - 4\cos^2 \left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2 \left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) - 4 + 4\cos^2 \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}\right)}$

3) $\frac{\sin \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha}$

4) $\frac{\text{tg} \left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right)\sin^2 \left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right)}{1 - 2\cos^2 4\alpha}$

1) Упростим знаменатель выражения. Для начала преобразуем разность квадратов котангенса и тангенса:
$ \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^4\alpha - \sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} $
Числитель полученной дроби является разностью квадратов: $ \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $.
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $ и основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем: $ \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos 2\alpha \cdot 1 = \cos 2\alpha $.
Тогда $ \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} $.
Теперь преобразуем знаменатель исходного выражения. Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, имеем $ \sin^2 2\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha $.
$ \sin^2 2\alpha(\text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha \cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = 4\cos 2\alpha $.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{\cos 2\alpha}{4\cos 2\alpha} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $.

2) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и другие тригонометрические тождества.
Упростим числитель: $ \sin^2(\alpha - \pi) - 4\cos^2(\frac{3\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) $.
$ \sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha $, следовательно $ \sin^2(\alpha - \pi) = \sin^2\alpha $.
$ \cos(\frac{3\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = -\sin\frac{\alpha}{2} $, следовательно $ \cos^2(\frac{3\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = \sin^2\frac{\alpha}{2} $.
Числитель принимает вид: $ \sin^2\alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2} $.
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $, получаем $ \sin^2\alpha = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} $.
$ 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} - 4\sin^2\frac{\alpha}{2} = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}(\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1) = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}(-\sin^2\frac{\alpha}{2}) = -4\sin^4\frac{\alpha}{2} $.
Упростим знаменатель: $ \cos^2(\alpha - \frac{5\pi}{2}) - 4 + 4\cos^2(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}) $.
$ \cos(\alpha - \frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $, следовательно $ \cos^2(\alpha - \frac{5\pi}{2}) = \sin^2\alpha $.
$ \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}) = -\sin\frac{\alpha}{2} $, следовательно $ \cos^2(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}) = \sin^2\frac{\alpha}{2} $.
Знаменатель принимает вид: $ \sin^2\alpha - 4 + 4\sin^2\frac{\alpha}{2} $.
Используя формулу понижения степени $ 2\sin^2x = 1 - \cos 2x $, получаем $ 4\sin^2\frac{\alpha}{2} = 2(1 - \cos\alpha) = 2 - 2\cos\alpha $.
$ \sin^2\alpha - 4 + 2 - 2\cos\alpha = \sin^2\alpha - 2\cos\alpha - 2 = (1-\cos^2\alpha) - 2\cos\alpha - 2 = -(\cos^2\alpha + 2\cos\alpha + 1) = -(\cos\alpha + 1)^2 $.
Теперь составим дробь из упрощенных числителя и знаменателя:
$ \frac{-4\sin^4(\frac{\alpha}{2})}{-(\cos\alpha + 1)^2} = \frac{4\sin^4(\frac{\alpha}{2})}{(\cos\alpha + 1)^2} $.
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 $, получаем $ \cos\alpha + 1 = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} $.
Тогда $ (\cos\alpha + 1)^2 = (2\cos^2\frac{\alpha}{2})^2 = 4\cos^4\frac{\alpha}{2} $.
Окончательно получаем: $ \frac{4\sin^4(\frac{\alpha}{2})}{4\cos^4(\frac{\alpha}{2})} = \text{tg}^4(\frac{\alpha}{2}) $.

Ответ: $ \text{tg}^4(\frac{\alpha}{2}) $.

3) Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель: $ \sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha) $.
Воспользуемся формулой произведения синусов $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.
Пусть $ A = \frac{\pi}{4}+\alpha $ и $ B = \frac{\pi}{4}-\alpha $. Тогда $ A - B = (\frac{\pi}{4}+\alpha) - (\frac{\pi}{4}-\alpha) = 2\alpha $ и $ A + B = (\frac{\pi}{4}+\alpha) + (\frac{\pi}{4}-\alpha) = \frac{\pi}{2} $.
$ \sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - 0) = \frac{1}{2}\cos 2\alpha $.
Знаменатель: $ \sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha $.
Это формула синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
$ \sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha = \sin(3\alpha - \alpha) = \sin 2\alpha $.
Теперь поделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\frac{1}{2}\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg} 2\alpha $.

Ответ: $ \frac{1}{2}\text{ctg} 2\alpha $.

4) Упростим числитель и знаменатель выражения.
Знаменатель: $ 1 - 2\cos^2 4\alpha = -(2\cos^2 4\alpha - 1) $.
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $, получаем:
$ -(2\cos^2 4\alpha - 1) = -\cos(2 \cdot 4\alpha) = -\cos(8\alpha) $.
Числитель: $ \text{tg}(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha)\sin^2(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) $.
Используем формулы приведения:
$ \text{tg}(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) $.
$ \sin(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4} + 4\alpha) = -\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $, поэтому $ \sin^2(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = \sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $.
Числитель принимает вид: $ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) \sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $.
Выразим тангенс через синус и косинус: $ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)} $.
По формуле приведения $ \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $, имеем $ \cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)) = \sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $.
Тогда $ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)} $.
Подставляем это в числитель: $ \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)} \cdot \sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) = \sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $.
Как и в задаче 3), это произведение равно $ \frac{1}{2}\cos(2 \cdot 4\alpha) = \frac{1}{2}\cos(8\alpha) $.
Теперь составим дробь:
$ \frac{\frac{1}{2}\cos(8\alpha)}{-\cos(8\alpha)} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

26.33. Докажите, что:

1) $\sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$;

2) $8 \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} = 1$;

3) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{1}{8}$;

4) $\sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{16}$.

1) Докажем тождество $\sin18^\circ\cos36^\circ = \frac{1}{4}$.

Пусть $L = \sin18^\circ\cos36^\circ$. Умножим и разделим левую часть на $2\cos18^\circ$. Поскольку $18^\circ$ находится в первом квадранте, $\cos18^\circ \neq 0$.

$L = \frac{2\sin18^\circ\cos18^\circ\cos36^\circ}{2\cos18^\circ}$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем:

$L = \frac{\sin(2 \cdot 18^\circ)\cos36^\circ}{2\cos18^\circ} = \frac{\sin36^\circ\cos36^\circ}{2\cos18^\circ}$

Снова применим формулу синуса двойного угла, умножив числитель и знаменатель на 2:

$L = \frac{2\sin36^\circ\cos36^\circ}{2 \cdot 2\cos18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4\cos18^\circ} = \frac{\sin72^\circ}{4\cos18^\circ}$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$, получаем $\sin72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos18^\circ$.

$L = \frac{\cos18^\circ}{4\cos18^\circ} = \frac{1}{4}$

Следовательно, $\sin18^\circ\cos36^\circ = \frac{1}{4}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество $8\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} = 1$.

Обозначим левую часть за $L$.

$L = 8\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}$

Умножим и разделим выражение на $\sin\frac{\pi}{9}$. Так как $\frac{\pi}{9} \neq \pi k$ для целого $k$, то $\sin\frac{\pi}{9} \neq 0$.

$L = \frac{8\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$L = \frac{4 \cdot (2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9})\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{4\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$

$L = \frac{2 \cdot (2\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9})\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{2\sin\frac{4\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$

$L = \frac{\sin(2 \cdot \frac{4\pi}{9})}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$

Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:

$\sin\frac{8\pi}{9} = \sin(\pi - \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{\pi}{9}$

Следовательно,

$L = \frac{\sin\frac{\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = 1$

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Докажем тождество $\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7} = \frac{1}{8}$.

Обозначим левую часть за $L$.

$L = \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}$

Используем формулы приведения. Заметим, что $\cos\frac{4\pi}{7} = \cos(\pi - \frac{3\pi}{7}) = -\cos\frac{3\pi}{7}$ и $\cos\frac{5\pi}{7} = \cos(\pi - \frac{2\pi}{7}) = -\cos\frac{2\pi}{7}$.

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$L = \cos\frac{\pi}{7} \cdot (-\cos\frac{3\pi}{7}) \cdot (-\cos\frac{2\pi}{7}) = \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}$

Умножим и разделим полученное выражение на $2\sin\frac{\pi}{7}$ (так как $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$):

$L = \frac{2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}}$

Применяем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$L = \frac{\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\frac{1}{2} (2\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7})\cos\frac{3\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}}$

Применим формулу произведения синуса на косинус $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$:

$\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{2}\left(\sin(\frac{4\pi}{7}+\frac{3\pi}{7}) + \sin(\frac{4\pi}{7}-\frac{3\pi}{7})\right) = \frac{1}{2}(\sin\pi + \sin\frac{\pi}{7}) = \frac{1}{2}(0 + \sin\frac{\pi}{7}) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7}$

Подставляем обратно в выражение для $L$:

$L = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{1}{8}$

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Докажем тождество $\sin6^\circ\sin42^\circ\cos12^\circ\cos24^\circ = \frac{1}{16}$.

Обозначим левую часть за $L$.

$L = \sin6^\circ\sin42^\circ\cos12^\circ\cos24^\circ$

Умножим обе части равенства на $\cos6^\circ$. Так как $6^\circ$ находится в первом квадранте, $\cos6^\circ \neq 0$.

$L \cdot \cos6^\circ = \sin6^\circ\cos6^\circ\sin42^\circ\cos12^\circ\cos24^\circ$

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$L \cdot \cos6^\circ = \frac{1}{2}(2\sin6^\circ\cos6^\circ)\sin42^\circ\cos12^\circ\cos24^\circ = \frac{1}{2}\sin12^\circ\cos12^\circ\sin42^\circ\cos24^\circ$

Снова применяем ту же формулу:

$L \cdot \cos6^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(2\sin12^\circ\cos12^\circ)\sin42^\circ\cos24^\circ = \frac{1}{4}\sin24^\circ\cos24^\circ\sin42^\circ$

И еще раз:

$L \cdot \cos6^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}(2\sin24^\circ\cos24^\circ)\sin42^\circ = \frac{1}{8}\sin48^\circ\sin42^\circ$

Теперь используем формулу произведения синусов $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$:

$\sin48^\circ\sin42^\circ = \frac{1}{2}(\cos(48^\circ-42^\circ) - \cos(48^\circ+42^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos6^\circ - \cos90^\circ)$

Так как $\cos90^\circ = 0$, получаем:

$\sin48^\circ\sin42^\circ = \frac{1}{2}\cos6^\circ$

Подставляем это в наше уравнение:

$L \cdot \cos6^\circ = \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2}\cos6^\circ) = \frac{1}{16}\cos6^\circ$

Разделив обе части на $\cos6^\circ$, получаем:

$L = \frac{1}{16}$

Ответ: Что и требовалось доказать.

26.34. Докажите, что:

1) $ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4} $

2) $ 8 \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = -1 $

3) $ \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8 \sin 3\alpha} $

1) Докажем тождество $sin54^\circ \cdot cos72^\circ = \frac{1}{4}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения:

$sin54^\circ = sin(90^\circ - 36^\circ) = cos36^\circ$

$cos72^\circ = cos(90^\circ - 18^\circ) = sin18^\circ$

Тогда исходное выражение примет вид:

$sin54^\circ \cdot cos72^\circ = cos36^\circ \cdot sin18^\circ$

Домножим и разделим выражение на $2cos18^\circ$:

$cos36^\circ \cdot sin18^\circ = \frac{cos36^\circ \cdot 2sin18^\circ cos18^\circ}{2cos18^\circ}$

Используя формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$, получаем:

$\frac{cos36^\circ \cdot sin(2 \cdot 18^\circ)}{2cos18^\circ} = \frac{cos36^\circ \cdot sin36^\circ}{2cos18^\circ}$

Снова применим формулу синуса двойного угла, домножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2cos36^\circ \cdot sin36^\circ}{2 \cdot 2cos18^\circ} = \frac{sin(2 \cdot 36^\circ)}{4cos18^\circ} = \frac{sin72^\circ}{4cos18^\circ}$

Применим формулу приведения $sin72^\circ = sin(90^\circ - 18^\circ) = cos18^\circ$:

$\frac{cos18^\circ}{4cos18^\circ} = \frac{1}{4}$

Таким образом, $sin54^\circ \cdot cos72^\circ = \frac{1}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = -1$.

Обозначим левую часть равенства как $L$. Домножим и разделим выражение на $sin\frac{\pi}{7}$ (это допустимо, так как $sin\frac{\pi}{7} \neq 0$):

$L = 8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = \frac{8 \cdot sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}}$

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $2sin\alpha cos\alpha = sin(2\alpha)$:

$L = \frac{4 \cdot (2sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7})\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}} = \frac{4sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}}$

$L = \frac{2 \cdot (2sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7})\cos\frac{4\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}} = \frac{2sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}}$

$L = \frac{sin(2 \cdot \frac{4\pi}{7})}{sin\frac{\pi}{7}} = \frac{sin\frac{8\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}}$

Представим угол $\frac{8\pi}{7}$ в виде $\pi + \frac{\pi}{7}$. Используя формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin\alpha$, получаем:

$sin\frac{8\pi}{7} = sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -sin\frac{\pi}{7}$

Подставим результат в наше выражение:

$L = \frac{-sin\frac{\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}} = -1$

Таким образом, $8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = -1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\cos3\alpha \cos6\alpha \cos12\alpha = \frac{\sin24\alpha}{8\sin3\alpha}$.

Преобразуем левую часть равенства. Обозначим ее $L$. Предположим, что $sin3\alpha \neq 0$.

$L = \cos3\alpha \cos6\alpha \cos12\alpha$

Домножим и разделим левую часть на $2sin3\alpha$:

$L = \frac{2\sin3\alpha \cos3\alpha \cos6\alpha \cos12\alpha}{2\sin3\alpha}$

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$:

$L = \frac{(2\sin3\alpha \cos3\alpha) \cos6\alpha \cos12\alpha}{2\sin3\alpha} = \frac{\sin6\alpha \cos6\alpha \cos12\alpha}{2\sin3\alpha}$

Домножим числитель и знаменатель на 2:

$L = \frac{2\sin6\alpha \cos6\alpha \cos12\alpha}{2 \cdot 2\sin3\alpha} = \frac{\sin12\alpha \cos12\alpha}{4\sin3\alpha}$

Снова домножим числитель и знаменатель на 2:

$L = \frac{2\sin12\alpha \cos12\alpha}{2 \cdot 4\sin3\alpha} = \frac{\sin24\alpha}{8\sin3\alpha}$

Мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Равенство доказано.

Ответ: Тождество доказано.

26.35. Выразите через $cos 4\alpha$:

1) $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha$;

2) $sin^8 \alpha + cos^8 \alpha$.

1) sin⁴ α + cos⁴ α;

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для квадрата суммы и основным тригонометрическим тождеством. Представим выражение как неполный квадрат суммы:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = (sin^2\alpha)^2 + (cos^2\alpha)^2 = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha$

Так как основное тригонометрическое тождество гласит $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается:

$1^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha = 1 - 2(sin\alpha cos\alpha)^2$

Теперь используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$. Отсюда $sin\alpha cos\alpha = \frac{sin(2\alpha)}{2}$.

Подставим это в наше выражение:

$1 - 2(\frac{sin(2\alpha)}{2})^2 = 1 - 2\frac{sin^2(2\alpha)}{4} = 1 - \frac{sin^2(2\alpha)}{2}$

Нам нужно выразить результат через $cos(4\alpha)$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1 - 2sin^2x$. Применив ее для $x = 2\alpha$, получим $cos(4\alpha) = 1 - 2sin^2(2\alpha)$.

Из этой формулы выразим $sin^2(2\alpha)$: $2sin^2(2\alpha) = 1 - cos(4\alpha)$, следовательно, $sin^2(2\alpha) = \frac{1 - cos(4\alpha)}{2}$.

Подставим это в наше выражение:

$1 - \frac{\frac{1 - cos(4\alpha)}{2}}{2} = 1 - \frac{1 - cos(4\alpha)}{4} = \frac{4 - (1 - cos(4\alpha))}{4} = \frac{4 - 1 + cos(4\alpha)}{4} = \frac{3 + cos(4\alpha)}{4}$

Ответ: $\frac{3 + cos(4\alpha)}{4}$

2) sin⁸ α + cos⁸ α;

Для решения этой задачи поступим аналогично первому пункту, представив выражение как неполный квадрат суммы:

$sin^8\alpha + cos^8\alpha = (sin^4\alpha)^2 + (cos^4\alpha)^2 = (sin^4\alpha + cos^4\alpha)^2 - 2sin^4\alpha cos^4\alpha$

Из первого пункта мы уже знаем, что $sin^4\alpha + cos^4\alpha = \frac{3 + cos(4\alpha)}{4}$.

Теперь преобразуем второе слагаемое, используя формулу синуса двойного угла:

$2sin^4\alpha cos^4\alpha = 2(sin\alpha cos\alpha)^4 = 2(\frac{sin(2\alpha)}{2})^4 = 2\frac{sin^4(2\alpha)}{16} = \frac{sin^4(2\alpha)}{8}$

Из решения первого пункта мы также знаем, что $sin^2(2\alpha) = \frac{1 - cos(4\alpha)}{2}$. Возведем это выражение в квадрат, чтобы найти $sin^4(2\alpha)$:

$sin^4(2\alpha) = (sin^2(2\alpha))^2 = (\frac{1 - cos(4\alpha)}{2})^2 = \frac{1 - 2cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{4}$

Теперь подставим все найденные выражения в исходную формулу:

$(sin^4\alpha + cos^4\alpha)^2 - 2sin^4\alpha cos^4\alpha = (\frac{3 + cos(4\alpha)}{4})^2 - \frac{\frac{1 - 2cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{4}}{8}$

Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:

$\frac{(3 + cos(4\alpha))^2}{16} - \frac{1 - 2cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{32} = \frac{9 + 6cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{16} - \frac{1 - 2cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{32}$

$\frac{2(9 + 6cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)) - (1 - 2cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha))}{32}$

$\frac{18 + 12cos(4\alpha) + 2cos^2(4\alpha) - 1 + 2cos(4\alpha) - cos^2(4\alpha)}{32}$

$\frac{17 + 14cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{32}$

Ответ: $\frac{17 + 14cos(4\alpha) + cos^2(4\alpha)}{32}$

26.36. Вычислите $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$, если $\alpha = \frac{\pi}{24}$.

Для решения задачи сначала упростим данное тригонометрическое выражение $sin^6 \alpha + cos^6 \alpha$.

Мы можем рассматривать это выражение как сумму кубов, используя формулу $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = sin^2 \alpha$ и $b = cos^2 \alpha$.

$sin^6 \alpha + cos^6 \alpha = (sin^2 \alpha)^3 + (cos^2 \alpha)^3 = (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)((sin^2 \alpha)^2 - sin^2 \alpha cos^2 \alpha + (cos^2 \alpha)^2)$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, выражение упрощается:

$1 \cdot (sin^4 \alpha - sin^2 \alpha cos^2 \alpha + cos^4 \alpha) = sin^4 \alpha + cos^4 \alpha - sin^2 \alpha cos^2 \alpha$

Теперь преобразуем сумму $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha$, выделив полный квадрат:

$sin^4 \alpha + cos^4 \alpha = (sin^2 \alpha)^2 + 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha + (cos^2 \alpha)^2 - 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha = (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)^2 - 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha$

Снова применяя тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$1^2 - 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha = 1 - 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha$

Подставим это обратно в наше выражение:

$sin^6 \alpha + cos^6 \alpha = (1 - 2sin^2 \alpha cos^2 \alpha) - sin^2 \alpha cos^2 \alpha = 1 - 3sin^2 \alpha cos^2 \alpha$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$. Отсюда $sin\alpha cos\alpha = \frac{sin(2\alpha)}{2}$, и, следовательно, $sin^2\alpha cos^2\alpha = \frac{sin^2(2\alpha)}{4}$.

Тогда выражение принимает вид:

$1 - 3\frac{sin^2(2\alpha)}{4}$

Чтобы это выражение было удобнее вычислять, применим формулу понижения степени $sin^2\theta = \frac{1 - cos(2\theta)}{2}$. Для нашего случая $\theta = 2\alpha$:

$1 - \frac{3}{4} \left(\frac{1 - cos(2 \cdot 2\alpha)}{2}\right) = 1 - \frac{3(1 - cos(4\alpha))}{8} = \frac{8 - (3 - 3cos(4\alpha))}{8} = \frac{5 + 3cos(4\alpha)}{8}$

Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим в него данное значение $\alpha = \frac{\pi}{24}$.

Найдем значение $4\alpha$:

$4\alpha = 4 \cdot \frac{\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

Подставим найденное значение в итоговую формулу:

$\frac{5 + 3cos(4\alpha)}{8} = \frac{5 + 3cos(\frac{\pi}{6})}{8}$

Зная, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, производим вычисление:

$\frac{5 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{8} = \frac{5 + \frac{3\sqrt{3}}{2}}{8} = \frac{\frac{10 + 3\sqrt{3}}{2}}{8} = \frac{10 + 3\sqrt{3}}{16}$

Ответ: $\frac{10 + 3\sqrt{3}}{16}$.

26.37. Докажите тождество:

1) $3 + 4 \cos 4\alpha + \cos 8\alpha = 8 \cos^4 2\alpha;$

2) $\frac{\cos^2(4\alpha - 3\pi) - 4\cos^2(2\alpha - \pi) + 3}{\cos^2(4\alpha + 3\pi) + 4\cos^2(2\alpha + \pi) - 1} = \operatorname{tg}^4 2\alpha.$

1) Докажите тождество $3 + 4 \cos 4\alpha + \cos 8\alpha = 8 \cos^4 2\alpha$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Применим эту формулу к $\cos 8\alpha$, полагая $x = 4\alpha$:

$\cos 8\alpha = 2\cos^2 4\alpha - 1$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$3 + 4 \cos 4\alpha + (2\cos^2 4\alpha - 1) = 2\cos^2 4\alpha + 4 \cos 4\alpha + 2$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\cos^2 4\alpha + 2 \cos 4\alpha + 1)$.

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат суммы:

$2(\cos 4\alpha + 1)^2$.

Далее используем формулу понижения степени $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$. Применим её к выражению $1 + \cos 4\alpha$, где $2x = 4\alpha$, следовательно, $x = 2\alpha$:

$1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha$.

Подставим полученное выражение обратно:

$2(2\cos^2 2\alpha)^2 = 2(4\cos^4 2\alpha) = 8\cos^4 2\alpha$.

Мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажите тождество $\frac{\cos^2(4\alpha - 3\pi) - 4\cos^2(2\alpha - \pi) + 3}{\cos^2(4\alpha + 3\pi) + 4\cos^2(2\alpha + \pi) - 1} = \operatorname{tg}^4 2\alpha$.

Сначала упростим тригонометрические функции в левой части, используя формулы приведения и свойство периодичности косинуса.

Для косинуса справедливы следующие соотношения:

$\cos(x \pm \pi) = -\cos x$

$\cos(x \pm 3\pi) = \cos(x \pm \pi \pm 2\pi) = \cos(x \pm \pi) = -\cos x$

Возводя в квадрат, получаем:

$\cos^2(4\alpha - 3\pi) = (-\cos 4\alpha)^2 = \cos^2 4\alpha$

$\cos^2(2\alpha - \pi) = (-\cos 2\alpha)^2 = \cos^2 2\alpha$

$\cos^2(4\alpha + 3\pi) = (-\cos 4\alpha)^2 = \cos^2 4\alpha$

$\cos^2(2\alpha + \pi) = (-\cos 2\alpha)^2 = \cos^2 2\alpha$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{\cos^2 4\alpha - 4\cos^2 2\alpha + 3}{\cos^2 4\alpha + 4\cos^2 2\alpha - 1}$

Теперь воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1$, чтобы выразить все члены через функции от $2\alpha$.

Преобразуем числитель:

$(2\cos^2 2\alpha - 1)^2 - 4\cos^2 2\alpha + 3 = (4\cos^4 2\alpha - 4\cos^2 2\alpha + 1) - 4\cos^2 2\alpha + 3$

$= 4\cos^4 2\alpha - 8\cos^2 2\alpha + 4 = 4(\cos^4 2\alpha - 2\cos^2 2\alpha + 1) = 4(\cos^2 2\alpha - 1)^2$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\cos^2 2\alpha - 1 = -\sin^2 2\alpha$. Тогда числитель принимает вид:

$4(-\sin^2 2\alpha)^2 = 4\sin^4 2\alpha$.

Преобразуем знаменатель:

$(2\cos^2 2\alpha - 1)^2 + 4\cos^2 2\alpha - 1 = (4\cos^4 2\alpha - 4\cos^2 2\alpha + 1) + 4\cos^2 2\alpha - 1 = 4\cos^4 2\alpha$.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{4\sin^4 2\alpha}{4\cos^4 2\alpha} = \frac{\sin^4 2\alpha}{\cos^4 2\alpha} = \left(\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\right)^4 = \operatorname{tg}^4 2\alpha$.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

26.38. Упростите выражение:

1) $\frac{3 + 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha}{3 - 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha}$

2) $\frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha - \cos^2 \alpha}{2(\cos \alpha - 1)}$

1)

Для упрощения выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$.

Преобразуем числитель:

$3 + 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha = 3 + 4 \cos \alpha + (2\cos^2 \alpha - 1) = 2\cos^2 \alpha + 4 \cos \alpha + 2 = 2(\cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1) = 2(\cos \alpha + 1)^2$.

Преобразуем знаменатель:

$3 - 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha = 3 - 4 \cos \alpha + (2\cos^2 \alpha - 1) = 2\cos^2 \alpha - 4 \cos \alpha + 2 = 2(\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha + 1) = 2(\cos \alpha - 1)^2$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь и сократим:

$\frac{3 + 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha}{3 - 4 \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \frac{2(\cos \alpha + 1)^2}{2(\cos \alpha - 1)^2} = (\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha - 1})^2$.

Теперь воспользуемся формулами понижения степени (или формулами половинного угла): $1 + \cos \alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$ и $1 - \cos \alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.

$(\frac{1 + \cos \alpha}{- (1 - \cos \alpha)})^2 = (\frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{-2\sin^2\frac{\alpha}{2}})^2 = (-\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}})^2 = (-\cot^2\frac{\alpha}{2})^2 = \cot^4\frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\cot^4\frac{\alpha}{2}$.

2)

Упростим числитель дроби. Выражение $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha$ можно разложить как разность квадратов:

$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, получаем:

$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha$.

Подставим это в числитель исходного выражения:

$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha - \cos^2 \alpha = \cos 2\alpha - \cos^2 \alpha$.

Снова применим формулу косинуса двойного угла, выразив его через косинус одинарного угла: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$.

$\cos 2\alpha - \cos^2 \alpha = (2\cos^2 \alpha - 1) - \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha - 1$.

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{\cos^2 \alpha - 1}{2(\cos \alpha - 1)}$.

Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$\frac{(\cos \alpha - 1)(\cos \alpha + 1)}{2(\cos \alpha - 1)}$.

Сократим дробь на $(\cos \alpha - 1)$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 1$):

$\frac{\cos \alpha + 1}{2}$.

Используя формулу половинного угла $1 + \cos \alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$, получим окончательный результат:

$\frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{2} = \cos^2\frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\cos^2\frac{\alpha}{2}$.

26.39. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha)\cos 2\alpha} \cdot \operatorname{tg} 2\alpha$, если $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

2) $\sqrt{\frac{\sin 4\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha}} \cdot \frac{1}{\sin 2\alpha} + 1$, если $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$.

1) Упростим выражение $ \sqrt{(\text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha)\cos(2\alpha)} \cdot \text{tg}(2\alpha) $, если $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Сначала преобразуем выражение под корнем. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус:

$ \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^4\alpha - \sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} $

В числителе используем формулу разности квадратов: $ \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $.

Так как $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $ и $ \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha) $, числитель равен $ \cos(2\alpha) $.

Знаменатель преобразуем с помощью формулы синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, откуда $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2} $.

Тогда $ \sin^2\alpha\cos^2\alpha = \left(\frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2(2\alpha)}{4} $.

Таким образом, $ \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{\sin^2(2\alpha)}{4}} = \frac{4\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} $.

Теперь подставим это в выражение под корнем:

$ (\text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{4\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} \cdot \cos(2\alpha) = \frac{4\cos^2(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} = 4\text{ctg}^2(2\alpha) $.

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{4\text{ctg}^2(2\alpha)} = |2\text{ctg}(2\alpha)| = 2|\text{ctg}(2\alpha)| $.

Определим знак $ \text{ctg}(2\alpha) $ из заданного условия $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Умножим неравенство на 2: $ \frac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi $. Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где котангенс отрицателен, то есть $ \text{ctg}(2\alpha) < 0 $.

Следовательно, $ |\text{ctg}(2\alpha)| = -\text{ctg}(2\alpha) $.

Исходное выражение принимает вид: $ 2(-\text{ctg}(2\alpha)) \cdot \text{tg}(2\alpha) = -2\text{ctg}(2\alpha)\text{tg}(2\alpha) $.

Так как $ \text{ctg}(2\alpha)\text{tg}(2\alpha) = 1 $, получаем:

$ -2 \cdot 1 = -2 $.

Ответ: -2

2) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{\sin(4\alpha)}{\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha}} \cdot \frac{1}{\sin(2\alpha)} + 1 $, если $ \frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi $.

Сначала упростим знаменатель дроби под корнем:

$ \text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Используя формулы двойного угла, $ \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha) $ и $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $, получаем:

$ \text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = 2\text{ctg}(2\alpha) $.

Теперь преобразуем всю дробь под корнем, используя формулу синуса двойного угла для $ \sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $:

$ \frac{\sin(4\alpha)}{\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{2\text{ctg}(2\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}} = \sin^2(2\alpha) $.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \sqrt{\sin^2(2\alpha)} \cdot \frac{1}{\sin(2\alpha)} + 1 = |\sin(2\alpha)| \cdot \frac{1}{\sin(2\alpha)} + 1 $.

Определим знак $ \sin(2\alpha) $ из заданного условия $ \frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi $.

Умножим неравенство на 2: $ \frac{3\pi}{2} < 2\alpha < 2\pi $. Этот интервал соответствует четвертой координатной четверти, где синус отрицателен, то есть $ \sin(2\alpha) < 0 $.

Следовательно, $ |\sin(2\alpha)| = -\sin(2\alpha) $.

Выражение принимает вид:

$ (-\sin(2\alpha)) \cdot \frac{1}{\sin(2\alpha)} + 1 = -1 + 1 = 0 $.

Ответ: 0

26.40. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha) 2 \operatorname{ctg} 2 \alpha \cdot \operatorname{tg} 2 \alpha + 2}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$;

2) $\sqrt{\frac{\cos 2 \alpha}{\operatorname{ctg}^{2} \alpha - \operatorname{tg}^{2} \alpha}}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

1) Упростим выражение $\sqrt{(\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha)2\operatorname{ctg}2\alpha - \operatorname{tg}^2{2\alpha} + 2}$ при условии $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Сначала преобразуем разность $\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha$:

$\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя формулы двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = 2\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 2\operatorname{ctg}(2\alpha)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное подкоренное выражение:

$(2\operatorname{ctg}2\alpha) \cdot 2\operatorname{ctg}2\alpha - \operatorname{tg}^2{2\alpha} + 2 = 4\operatorname{ctg}^2{2\alpha} - \operatorname{tg}^2{2\alpha} + 2$

Таким образом, нам нужно упростить $\sqrt{4\operatorname{ctg}^2{2\alpha} - \operatorname{tg}^2{2\alpha} + 2}$.

Проанализируем знак подкоренного выражения при заданном условии $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Умножим неравенство на 2, чтобы определить диапазон для $2\alpha$:

$\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

Это означает, что угол $2\alpha$ находится в III координатной четверти.

Рассмотрим поведение подкоренного выражения, когда угол $\alpha$ приближается к границе интервала, например, к $\frac{3\pi}{4}$. В этом случае $2\alpha$ приближается к $\frac{3\pi}{2}$ (слева).

При $2\alpha \to \frac{3\pi}{2}$:

• $\sin(2\alpha) \to -1$
• $\cos(2\alpha) \to 0^-$ (стремится к нулю, оставаясь отрицательным)
• $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \to \frac{-1}{0^-} \to +\infty$
• $\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{1}{\operatorname{tg}(2\alpha)} \to 0$

Тогда подкоренное выражение $4\operatorname{ctg}^2{2\alpha} - \operatorname{tg}^2{2\alpha} + 2$ стремится к $4(0)^2 - (+\infty)^2 + 2$, что стремится к $-\infty$.

Поскольку подкоренное выражение принимает отрицательные значения на части заданного интервала, исходное выражение не определено для всех $\alpha$ из условия. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. В представленном виде выражение упростить невозможно.

Ответ: Выражение не определено на всем заданном интервале, упрощение невозможно.

2) Упростим выражение $\sqrt{\frac{\cos2\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha}}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Сначала преобразуем знаменатель дроби под корнем:

$\operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^4\alpha - \sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$

В числителе используем формулу разности квадратов:

$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$

Так как $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha$ и $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, числитель равен $\cos2\alpha$.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin2\alpha$. Тогда:

$\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin2\alpha\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2{2\alpha}$

Таким образом, знаменатель дроби равен:

$\operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\frac{1}{4}\sin^2{2\alpha}} = \frac{4\cos2\alpha}{\sin^2{2\alpha}}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{\frac{\cos2\alpha}{\frac{4\cos2\alpha}{\sin^2{2\alpha}}}}$

Из условия $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$ следует, что $\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$. В этом интервале (III четверть) $\cos2\alpha < 0$. Так как $\cos2\alpha \ne 0$, мы можем сократить дробь на $\cos2\alpha$:

$\sqrt{\frac{1}{\frac{4}{\sin^2{2\alpha}}}} = \sqrt{\frac{\sin^2{2\alpha}}{4}} = \frac{|\sin2\alpha|}{2}$

Определим знак $\sin2\alpha$. Для угла $2\alpha$ в III четверти ($\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$) синус отрицателен, то есть $\sin2\alpha < 0$.

Следовательно, $|\sin2\alpha| = -\sin2\alpha$.

Окончательно получаем:

$\frac{-\sin2\alpha}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}\sin2\alpha$.