Номер 26.34, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.34. Докажите, что:

1) $ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4} $

2) $ 8 \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = -1 $

3) $ \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8 \sin 3\alpha} $

1) Докажем тождество $sin54^\circ \cdot cos72^\circ = \frac{1}{4}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения:

$sin54^\circ = sin(90^\circ - 36^\circ) = cos36^\circ$

$cos72^\circ = cos(90^\circ - 18^\circ) = sin18^\circ$

Тогда исходное выражение примет вид:

$sin54^\circ \cdot cos72^\circ = cos36^\circ \cdot sin18^\circ$

Домножим и разделим выражение на $2cos18^\circ$:

$cos36^\circ \cdot sin18^\circ = \frac{cos36^\circ \cdot 2sin18^\circ cos18^\circ}{2cos18^\circ}$

Используя формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$, получаем:

$\frac{cos36^\circ \cdot sin(2 \cdot 18^\circ)}{2cos18^\circ} = \frac{cos36^\circ \cdot sin36^\circ}{2cos18^\circ}$

Снова применим формулу синуса двойного угла, домножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2cos36^\circ \cdot sin36^\circ}{2 \cdot 2cos18^\circ} = \frac{sin(2 \cdot 36^\circ)}{4cos18^\circ} = \frac{sin72^\circ}{4cos18^\circ}$

Применим формулу приведения $sin72^\circ = sin(90^\circ - 18^\circ) = cos18^\circ$:

$\frac{cos18^\circ}{4cos18^\circ} = \frac{1}{4}$

Таким образом, $sin54^\circ \cdot cos72^\circ = \frac{1}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = -1$.

Обозначим левую часть равенства как $L$. Домножим и разделим выражение на $sin\frac{\pi}{7}$ (это допустимо, так как $sin\frac{\pi}{7} \neq 0$):

$L = 8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = \frac{8 \cdot sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}}$

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $2sin\alpha cos\alpha = sin(2\alpha)$:

$L = \frac{4 \cdot (2sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7})\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}} = \frac{4sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}}$

$L = \frac{2 \cdot (2sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7})\cos\frac{4\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}} = \frac{2sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}}$

$L = \frac{sin(2 \cdot \frac{4\pi}{7})}{sin\frac{\pi}{7}} = \frac{sin\frac{8\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}}$

Представим угол $\frac{8\pi}{7}$ в виде $\pi + \frac{\pi}{7}$. Используя формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin\alpha$, получаем:

$sin\frac{8\pi}{7} = sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -sin\frac{\pi}{7}$

Подставим результат в наше выражение:

$L = \frac{-sin\frac{\pi}{7}}{sin\frac{\pi}{7}} = -1$

Таким образом, $8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = -1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\cos3\alpha \cos6\alpha \cos12\alpha = \frac{\sin24\alpha}{8\sin3\alpha}$.

Преобразуем левую часть равенства. Обозначим ее $L$. Предположим, что $sin3\alpha \neq 0$.

$L = \cos3\alpha \cos6\alpha \cos12\alpha$

Домножим и разделим левую часть на $2sin3\alpha$:

$L = \frac{2\sin3\alpha \cos3\alpha \cos6\alpha \cos12\alpha}{2\sin3\alpha}$

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$:

$L = \frac{(2\sin3\alpha \cos3\alpha) \cos6\alpha \cos12\alpha}{2\sin3\alpha} = \frac{\sin6\alpha \cos6\alpha \cos12\alpha}{2\sin3\alpha}$

Домножим числитель и знаменатель на 2:

$L = \frac{2\sin6\alpha \cos6\alpha \cos12\alpha}{2 \cdot 2\sin3\alpha} = \frac{\sin12\alpha \cos12\alpha}{4\sin3\alpha}$

Снова домножим числитель и знаменатель на 2:

$L = \frac{2\sin12\alpha \cos12\alpha}{2 \cdot 4\sin3\alpha} = \frac{\sin24\alpha}{8\sin3\alpha}$

Мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Равенство доказано.

Ответ: Тождество доказано.