Номер 26.50, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.50. Докажите равенство $\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots + \sqrt{2}}}}}_{n \text{ радикалов}} = 2 \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}$

Докажем данное равенство методом математической индукции по числу радикалов $n$.

Обозначим левую часть равенства как $A_n = \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n \text{ радикалов}}$.

Требуется доказать, что $A_n = 2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}$ для всех натуральных $n \ge 1$.

1. База индукции (n=1)

При $n=1$ левая часть равенства представляет собой $A_1 = \sqrt{2}$.

Правая часть равенства при $n=1$ равна $2\cos\frac{\pi}{2^{1+1}} = 2\cos\frac{\pi}{4}$.

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому правая часть равна $2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Так как левая и правая части равны ($\sqrt{2} = \sqrt{2}$), утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение (n=k)

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$, то есть:

$A_k = \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{k \text{ радикалов}} = 2\cos\frac{\pi}{2^{k+1}}$.

3. Индукционный шаг (n=k+1)

Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$.

Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:

$A_{k+1} = \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{k+1 \text{ радикалов}} = \sqrt{2 + \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{k \text{ радикалов}}} = \sqrt{2+A_k}$.

Используем индукционное предположение для замены $A_k$:

$A_{k+1} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{k+1}}} = \sqrt{2\left(1+\cos\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени (или косинуса двойного угла): $1+\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$.

Пусть $2\alpha = \frac{\pi}{2^{k+1}}$, тогда $\alpha = \frac{\pi}{2 \cdot 2^{k+1}} = \frac{\pi}{2^{k+2}}$.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$A_{k+1} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2\frac{\pi}{2^{k+2}}} = \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2^{k+2}}} = 2\left|\cos\frac{\pi}{2^{k+2}}\right|$.

Поскольку $n=k \ge 1$, то $k+2 \ge 3$, и $2^{k+2} \ge 8$. Следовательно, угол $0 < \frac{\pi}{2^{k+2}} \le \frac{\pi}{8}$.

Этот угол находится в первой координатной четверти, где значение косинуса положительно. Поэтому $\left|\cos\frac{\pi}{2^{k+2}}\right| = \cos\frac{\pi}{2^{k+2}}$.

Таким образом, мы получаем:

$A_{k+1} = 2\cos\frac{\pi}{2^{k+2}} = 2\cos\frac{\pi}{2^{(k+1)+1}}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства для $n=k+1$.

Индукционный переход доказан.

Вывод

Поскольку утверждение верно для $n=1$ и из его верности для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$, то по принципу математической индукции равенство доказано для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Равенство $\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n \text{ радикалов}} = 2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}$ доказано методом математической индукции.