Номер 36.1, страница 270 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.1. Построив график функции $f$, выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1;$

2) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 2;$

3) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2;$

4) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0;$

5) $f(x) = k$, где $k$ — некоторое число, $x_0 = 3;$

6) $f(x) = \frac{|x - 2|}{2 - x}, x_0 = 2.$

1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1$

График функции $f(x) = 2x - 1$ — это прямая линия. Функция является непрерывной на всей числовой оси. Чтобы найти предел функции в точке $x_0 = -1$, достаточно подставить это значение в функцию, так как точка принадлежит области определения.

$\lim_{x \to -1} (2x - 1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.

Когда $x$ стремится к -1 (как слева, так и справа), значения функции $f(x)$ стремятся к -3. Следовательно, предел существует.

Ответ: да, предел существует и равен -3.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 2$

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=2$, так как в этой точке знаменатель обращается в ноль. Для всех $x \neq 2$ мы можем упростить выражение, разложив числитель на множители:

$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$.

Таким образом, график функции $f(x)$ — это прямая $y = x+2$ с "выколотой" точкой (точкой разрыва) при $x=2$. Координаты этой точки $(2, 2+2)$, то есть $(2, 4)$.

Чтобы найти предел в точке $x_0 = 2$, мы рассматриваем поведение функции в окрестности этой точки, но не в самой точке:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$.

Когда $x$ стремится к 2, значения функции стремятся к 4. Следовательно, предел существует.

Ответ: да, предел существует и равен 4.

3) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2$

График функции $f(x) = \frac{1}{x}$ — это гипербола. Функция является непрерывной во всех точках, кроме $x=0$. Точка $x_0 = -2$ входит в область определения функции.

Чтобы найти предел в точке $x_0 = -2$, можно подставить это значение в функцию:

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{x} = \frac{1}{-2} = -0.5$.

Когда $x$ стремится к -2, значения функции стремятся к -0.5. Следовательно, предел существует.

Ответ: да, предел существует и равен -0.5.

4) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0$

График функции $f(x) = \frac{1}{x}$ — это гипербола. Точка $x_0 = 0$ не входит в область определения функции. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой для графика.

Рассмотрим односторонние пределы при $x \to 0$:

Предел слева: когда $x$ стремится к 0, оставаясь отрицательным ($x \to 0^-$), значения $f(x)$ становятся бесконечно большими по модулю отрицательными числами. $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.

Предел справа: когда $x$ стремится к 0, оставаясь положительным ($x \to 0^+$), значения $f(x)$ становятся бесконечно большими положительными числами. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.

Поскольку односторонние пределы не равны (и не являются конечными числами), двусторонний предел функции в точке $x_0 = 0$ не существует.

Ответ: нет, предел не существует.

5) $f(x) = k$, где $k$ — некоторое число, $x_0 = 3$

График функции $f(x) = k$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, k)$. Функция является постоянной и непрерывной на всей числовой оси.

Для любого значения $x$, значение функции равно $k$. Поэтому предел в любой точке, включая $x_0 = 3$, равен $k$.

$\lim_{x \to 3} k = k$.

Когда $x$ стремится к 3, значения функции остаются равными $k$. Следовательно, предел существует.

Ответ: да, предел существует и равен $k$.

6) $f(x) = \frac{|x-2|}{2-x}, x_0 = 2$

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=2$. Раскроем модуль $|x-2|$:

Если $x > 2$, то $x-2 > 0$, и $|x-2| = x-2$. Тогда $f(x) = \frac{x-2}{2-x} = \frac{x-2}{-(x-2)} = -1$.

Если $x < 2$, то $x-2 < 0$, и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Тогда $f(x) = \frac{2-x}{2-x} = 1$.

График функции состоит из двух лучей: $y=1$ для $x < 2$ и $y=-1$ для $x > 2$. В точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода ("скачок").

Рассмотрим односторонние пределы в точке $x_0=2$:

Предел слева: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} 1 = 1$.

Предел справа: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (-1) = -1$.

Поскольку предел слева не равен пределу справа ($1 \neq -1$), двусторонний предел функции в точке $x_0 = 2$ не существует.

Ответ: нет, предел не существует.