Номер 36.5, страница 270 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.5. Используя график соответствующей функции, проверьте справедливость следующих равенств:

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos x = 0;$

2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}};$

3) $\lim_{x \to 0} \arcsin x = -\frac{\pi}{6};$

4) $\lim_{x \to 0} \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}.$

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos x = 0$

Рассмотрим график функции $y = \cos x$. Это непрерывная периодическая функция, определенная на всей числовой прямой. Чтобы найти предел функции при $x \to \frac{\pi}{2}$, нужно посмотреть, к какому значению стремится $y$, когда $x$ приближается к $\frac{\pi}{2}$. На графике функции $y = \cos x$ (косинусоиде) видно, что в точке $x = \frac{\pi}{2}$ график пересекает ось абсцисс, то есть значение функции в этой точке равно 0. Поскольку функция $y=\cos x$ непрерывна в точке $x = \frac{\pi}{2}$, предел функции при стремлении $x$ к этой точке равен значению функции в этой точке. Следовательно, $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Данное равенство справедливо.
Ответ: справедливо.

2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Рассмотрим график функции $y = \operatorname{tg} x$. Функция $y=\operatorname{tg} x$ непрерывна на всей своей области определения, которая состоит из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n$ — целое число. Точка $x = \frac{\pi}{6}$ принадлежит области определения и непрерывности функции. Следовательно, предел функции в этой точке равен ее значению. По графику функции $y=\operatorname{tg} x$ можно определить, что при $x = \frac{\pi}{6}$ значение функции положительно и меньше 1. Точное значение функции в этой точке: $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sin(\pi/6)}{\cos(\pi/6)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Таким образом, $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Данное равенство справедливо.
Ответ: справедливо.

3) $\lim_{x \to 0} \arcsin x = -\frac{\pi}{6}$

Рассмотрим график функции $y = \arcsin x$. Эта функция определена и непрерывна на отрезке $[-1, 1]$. Точка $x=0$ принадлежит этому отрезку. Предел функции в точке непрерывности равен значению функции в этой точке. График функции $y = \arcsin x$ проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Это означает, что $\arcsin(0) = 0$. Следовательно, $\lim_{x \to 0} \arcsin x = \arcsin(0) = 0$. В условии же указано, что предел равен $-\frac{\pi}{6}$. Поскольку $0 \neq -\frac{\pi}{6}$, данное равенство не справедливо.
Ответ: не справедливо.

4) $\lim_{x \to 0} \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$

Рассмотрим график функции $y = \operatorname{arcctg} x$. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Предел функции в точке непрерывности равен значению функции в этой точке. Чтобы найти предел при $x \to 0$, нужно найти значение $\operatorname{arcctg}(0)$. На графике функции $y = \operatorname{arcctg} x$ видно, что при $x=0$ график пересекает ось ординат в точке $y = \frac{\pi}{2}$. Это следует из определения арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(0)$ — это такое число $y$ из интервала $(0, \pi)$, что $\operatorname{ctg}(y) = 0$. Этим числом является $y = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\lim_{x \to 0} \operatorname{arcctg} x = \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$. Данное равенство справедливо.
Ответ: справедливо.