Номер 36.11, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.11. Вычислите предел:

1) $\lim_{x\to3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6}$;

2) $\lim_{x\to1} \left(\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^3}\right)$.

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6}$.

При подстановке $x = 3$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$.

Знаменатель: $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложение числителя: найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Тогда $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$.

Разложение знаменателя: найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Теперь подставим разложенные многочлены в предел и сократим общий множитель $(x-3)$:

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x - 2}$

Теперь можно подставить значение $x = 3$ в упрощенное выражение:

$\frac{3 + 1}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: 4

2) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^3}\right)$.

При подстановке $x = 1$ получаем неопределенность вида $\infty - \infty$.

Для решения приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель $1 - x^3$ по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$.

Общий знаменатель равен $(1 - x)(1 + x + x^2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^3} = \frac{1 \cdot (1 + x + x^2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} - \frac{3}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \frac{1 + x + x^2 - 3}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \frac{x^2 + x - 2}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$.

Теперь найдем предел полученного выражения:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$

При подстановке $x = 1$ снова получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$ ($1^2 + 1 - 2 = 0$ и $(1-1)(1+1+1^2) = 0$).

Разложим числитель $x^2 + x - 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$

Заметим, что $(x - 1) = -(1 - x)$. Сократим дробь на $(1-x)$:

$\lim_{x \to 1} \frac{-(1 - x)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x + 2)}{1 + x + x^2}$

Теперь подставим $x = 1$ в упрощенное выражение:

$\frac{-(1 + 2)}{1 + 1 + 1^2} = \frac{-3}{3} = -1$.

Ответ: -1