Страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.6. Используя график соответствующей функции, проверьте справедливость следующих равенств:

1) $\lim_{x \to \pi} \sin x = 0$;

2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\lim_{x \to 0} \arccos x = \frac{\pi}{2}$;

4) $\lim_{x \to 0} \operatorname{arctg} x = 1$.

1) Для проверки равенства $\lim_{x \to \pi} \sin x = 0$ рассмотрим график функции $y = \sin x$.

Функция $y = \sin x$ является непрерывной на всей числовой прямой. Предел непрерывной функции в точке равен значению функции в этой точке. Из графика функции $y = \sin x$ (синусоиды) мы видим, что при $x = \pi$ значение функции равно 0. Когда $x$ стремится к $\pi$, значения $y$ на графике стремятся к 0. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

2) Для проверки равенства $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ рассмотрим график функции $y = \cos x$.

Функция $y = \cos x$ является непрерывной на всей числовой прямой. По графику функции (косинусоиде) видно, что при приближении аргумента $x$ к значению $\frac{\pi}{4}$, значения функции $y$ приближаются к значению $\cos(\frac{\pi}{4})$. Это табличное значение, равное $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, предел функции в этой точке равен значению функции, и равенство является верным.

Ответ: Равенство справедливо.

3) Для проверки равенства $\lim_{x \to 0} \arccos x = \frac{\pi}{2}$ рассмотрим график функции $y = \arccos x$.

Функция $y = \arccos x$ определена и непрерывна на отрезке $[-1, 1]$. Точка $x=0$ входит в область определения. По графику функции арккосинуса видно, что он проходит через точку с координатами $(0, \frac{\pi}{2})$. Поскольку функция непрерывна в этой точке, предел при $x$, стремящемся к 0, равен значению функции в этой точке, то есть $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$. Равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

4) Для проверки равенства $\lim_{x \to 0} \operatorname{arcctg} x = 1$ рассмотрим график функции $y = \operatorname{arcctg} x$.

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ является непрерывной на всей числовой прямой. Найдём её предел при $x \to 0$, посмотрев на её график. График функции арккотангенса проходит через точку $(0, \frac{\pi}{2})$. Так как функция непрерывна в точке $x=0$, то её предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to 0} \operatorname{arcctg} x = \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку $\pi \approx 3.14159...$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$, что не равно 1. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство не справедливо.

36.7. Найдите:

1) $\lim_{x\to 1} (2x^2 - 3x - 1);$

2) $\lim_{x\to 2} (x^3 - 3x - 2);$

3) $\lim_{x\to 0} \frac{x^2 - 3x + 5}{x^2 + 2x - 1}.$

1) Чтобы найти предел данной функции, необходимо подставить значение, к которому стремится $x$, в выражение функции, так как функция является многочленом и непрерывна на всей числовой оси.

$\lim_{x \to 1} (2x^2 - 3x - 1) = 2(1)^2 - 3(1) - 1 = 2 - 3 - 1 = -2$.

Ответ: $-2$.

2) Аналогично первому пункту, функция является многочленом, следовательно, она непрерывна. Для вычисления предела подставим значение $x=2$ в функцию.

$\lim_{x \to 2} (x^3 - 3x - 2) = 2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$.

Ответ: $0$.

3) Данная функция является рациональной. Предел рациональной функции в точке можно найти прямой подстановкой, если знаменатель в этой точке не обращается в ноль. Проверим значение знаменателя при $x=0$.

Знаменатель при $x=0$: $0^2 + 2(0) - 1 = -1$.

Поскольку знаменатель не равен нулю, мы можем использовать прямую подстановку для нахождения предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 3x + 5}{x^2 + 2x - 1} = \frac{0^2 - 3(0) + 5}{0^2 + 2(0) - 1} = \frac{5}{-1} = -5$.

Ответ: $-5$.

36.8. Найдите:

1) $\lim_{x\to2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 2);$

2) $\lim_{x\to5} \frac{7x - 5}{10 + 2x};$

3) $\lim_{x\to3} \frac{x^3 + 1}{(x - 2)^{20}}.$

1) Дан предел от многочлена: $\lim_{x \to 2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 2)$.

Поскольку многочлен является функцией, непрерывной на всей числовой прямой, для нахождения предела при $x$, стремящемся к конечному числу, достаточно подставить это число в выражение.

Подставим $x = 2$ в выражение:

$\lim_{x \to 2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 2 = 8 - 3 \cdot 4 + 4 + 2 = 8 - 12 + 4 + 2 = 2$.

Ответ: 2

2) Дан предел от рациональной функции: $\lim_{x \to 5} \frac{7x - 5}{10 + 2x}$.

Рациональная функция непрерывна во всех точках своей области определения. Область определения - это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель $10 + 2x$ равен нулю при $x = -5$.

Поскольку мы ищем предел при $x \to 5$, а в этой точке функция непрерывна, мы можем найти предел путем прямой подстановки значения $x = 5$ в функцию.

$\lim_{x \to 5} \frac{7x - 5}{10 + 2x} = \frac{7 \cdot 5 - 5}{10 + 2 \cdot 5} = \frac{35 - 5}{10 + 10} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: 1.5

3) Дан предел от рациональной функции: $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 + 1}{(x - 2)^{20}}$.

Функция непрерывна во всех точках, где ее знаменатель не обращается в ноль. Знаменатель $(x - 2)^{20}$ равен нулю при $x = 2$.

Так как предел ищется в точке $x = 3$, где функция непрерывна, мы можем просто подставить это значение в выражение.

$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 + 1}{(x - 2)^{20}} = \frac{3^3 + 1}{(3 - 2)^{20}} = \frac{27 + 1}{1^{20}} = \frac{28}{1} = 28$.

Ответ: 28

36.9. Вычислите:

1) $ \lim_{x \to 1} \sqrt{2x - 1}; $

2) $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin 3x; $

3) $ \lim_{x \to \frac{\pi}{5}} \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{5}\right); $

4) $ \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \cos^2 x. $

1) Функция $f(x) = \sqrt{2x - 1}$ является непрерывной в точке $x = 1$, так как эта точка входит в область определения функции ($2x-1 \ge 0 \implies x \ge 1/2$). Поэтому для нахождения предела можно просто подставить значение $x=1$ в функцию:

$\lim_{x \to 1} \sqrt{2x - 1} = \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

2) Функция $f(x) = \sin 3x$ является непрерывной на всей числовой прямой. Следовательно, предел в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равен значению функции в этой точке. Выполним подстановку:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin 3x = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.

Ответ: -1

3) Функция $f(x) = \tg(x - \frac{\pi}{5})$ является непрерывной в точке $x = \frac{\pi}{5}$, так как аргумент тангенса в этой точке равен $ \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{5} = 0 $, а в точке 0 функция тангенс непрерывна. Найдем предел путем подстановки:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{5}} \tg\left(x - \frac{\pi}{5}\right) = \tg\left(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{5}\right) = \tg(0) = 0$.

Ответ: 0

4) Функция $f(x) = \cos^2 x$ является непрерывной на всей числовой прямой. Для вычисления предела подставим значение $x = -\frac{\pi}{2}$ в функцию:

$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}} \cos^2 x = \cos^2\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)^2$.

Так как косинус — четная функция, $\cos(-a) = \cos(a)$, то $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

Следовательно, предел равен $0^2 = 0$.

Ответ: 0

36.10. Вычислите:

1) $\lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 3x}$;

2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 4x$;

3) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{x}$;

4) $\lim_{x \to 0} \operatorname{ctg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 3x}$.

Функция $f(x) = \sqrt{1 - 3x}$ является непрерывной в точке $x = 0$ (так как точка $x=0$ входит в область определения функции $1-3x \ge 0$, т.е. $x \le 1/3$). Для нахождения предела функции в точке, где она непрерывна, достаточно подставить это значение в функцию.

$\lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 3x} = \sqrt{1 - 3 \cdot 0} = \sqrt{1 - 0} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

2) Вычислим предел $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 4x$.

Функция $f(x) = \cos 4x$ является непрерывной на всей числовой прямой. Следовательно, для нахождения предела можно просто подставить значение $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию.

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 4x = \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \cos(2\pi)$.

Мы знаем, что значение косинуса в точке $2\pi$ равно 1.

$\cos(2\pi) = 1$.

Ответ: 1

3) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{x}$.

Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{x}$ определена и непрерывна в точке $x = 1$, так как знаменатель в этой точке не равен нулю ($1 \ne 0$) и подкоренное выражение неотрицательно ($1 \ge 0$). Поэтому для вычисления предела достаточно подставить значение $x=1$ в выражение.

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{\sqrt{1} + 1}{1} = \frac{1 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2$.

Ответ: 2

4) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Функция котангенса $\operatorname{ctg}(u)$ непрерывна везде, кроме точек, где $u = k\pi$ для любого целого $k$. В нашем случае аргумент $u = x - \frac{\pi}{4}$. В точке $x=0$ аргумент равен $0 - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$, что не является кратным $\pi$. Следовательно, функция $f(x) = \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ непрерывна в точке $x=0$.

Найдем предел прямой подстановкой:

$\lim_{x \to 0} \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(0 - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$.

Так как котангенс - нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-a) = -\operatorname{ctg}(a)$), то:

$\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Ответ: -1

36.11. Вычислите предел:

1) $\lim_{x\to3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6}$;

2) $\lim_{x\to1} \left(\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^3}\right)$.

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6}$.

При подстановке $x = 3$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$.

Знаменатель: $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложение числителя: найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Тогда $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$.

Разложение знаменателя: найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Теперь подставим разложенные многочлены в предел и сократим общий множитель $(x-3)$:

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x - 2}$

Теперь можно подставить значение $x = 3$ в упрощенное выражение:

$\frac{3 + 1}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: 4

2) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^3}\right)$.

При подстановке $x = 1$ получаем неопределенность вида $\infty - \infty$.

Для решения приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель $1 - x^3$ по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$.

Общий знаменатель равен $(1 - x)(1 + x + x^2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{1 - x^3} = \frac{1 \cdot (1 + x + x^2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} - \frac{3}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \frac{1 + x + x^2 - 3}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \frac{x^2 + x - 2}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$.

Теперь найдем предел полученного выражения:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$

При подстановке $x = 1$ снова получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$ ($1^2 + 1 - 2 = 0$ и $(1-1)(1+1+1^2) = 0$).

Разложим числитель $x^2 + x - 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$

Заметим, что $(x - 1) = -(1 - x)$. Сократим дробь на $(1-x)$:

$\lim_{x \to 1} \frac{-(1 - x)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x + 2)}{1 + x + x^2}$

Теперь подставим $x = 1$ в упрощенное выражение:

$\frac{-(1 + 2)}{1 + 1 + 1^2} = \frac{-3}{3} = -1$.

Ответ: -1

36.12. Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3}$;

2) $\lim_{x \to -3} \left( \frac{1}{x+3} + \frac{6}{x^2 - 9} \right)$.

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3}$.

При прямой подстановке значения $x=1$ в числитель и знаменатель дроби получаем:

Числитель: $1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Знаменатель: $1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

Мы получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку при $x=1$ оба многочлена обращаются в ноль, то $(x-1)$ является их общим множителем.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=2$. Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Следовательно, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Теперь вернемся к вычислению предела:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-3)}$

Поскольку $x$ стремится к 1, но не равен 1 ($x \ne 1$), мы можем сократить дробь на множитель $(x-1)$:

$\lim_{x \to 1} \frac{x-2}{x-3}$

Теперь выполним подстановку $x=1$ в полученное выражение:

$\frac{1-2}{1-3} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Вычислим предел $\lim_{x \to -3} \left(\frac{1}{x+3} + \frac{6}{x^2 - 9}\right)$.

При прямой подстановке значения $x=-3$ в каждое слагаемое получаем бесконечности ($\frac{1}{0}$ и $\frac{6}{0}$), что приводит к неопределенности вида "$\infty - \infty$".

Для раскрытия этой неопределенности приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

$\lim_{x \to -3} \left(\frac{1}{x+3} + \frac{6}{(x-3)(x+3)}\right)$

Общий знаменатель равен $(x-3)(x+3)$. Приведем первое слагаемое к этому знаменателю:

$\lim_{x \to -3} \left(\frac{1 \cdot (x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{6}{(x-3)(x+3)}\right)$

Теперь сложим дроби:

$\lim_{x \to -3} \frac{(x-3)+6}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to -3} \frac{x+3}{(x-3)(x+3)}$

Поскольку $x$ стремится к -3, но не равен -3 ($x \ne -3$), мы можем сократить дробь на множитель $(x+3)$:

$\lim_{x \to -3} \frac{1}{x-3}$

Теперь выполним подстановку $x=-3$ в полученное выражение:

$\frac{1}{-3-3} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

36.13. Вычислите:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}};$

2) $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4};$

3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}.$

1) Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}$.
При прямой подстановке $x = 0$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия преобразуем выражение. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, мы рассматриваем предел при $x \to 0^+$.
Вынесем в числителе и знаменателе за скобки $\sqrt{x}$. Учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$:
$\lim_{x \to 0} \frac{x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}$
Сократим дробь на $\sqrt{x}$, так как $x \to 0$, но $x \neq 0$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$
Теперь подставим предельное значение $x = 0$:
$\frac{\sqrt{0} + 1}{\sqrt{0} - 1} = \frac{0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$
Ответ: -1

2) Найдем предел $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.
При прямой подстановке $x = 4$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим $x - 4$ как $(\sqrt{x})^2 - 2^2$:
$x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$
Подставим это в исходное выражение:
$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$
Сократим дробь на $(\sqrt{x} - 2)$, так как $x \to 4$, но $x \neq 4$:
$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$
Теперь подставим предельное значение $x = 4$:
$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Найдем предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}$.
При прямой подстановке $x = 1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия преобразуем числитель. Вынесем за скобки $\sqrt{x}$:
$x^2 - \sqrt{x} = \sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1) = \sqrt{x}((\sqrt{x})^3 - 1^3)$
Применим к выражению в скобках формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$:
$(\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x} - 1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)$
Таким образом, числитель равен $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)$.
Подставим разложенный числитель в предел:
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{1 - \sqrt{x}}$
Заметим, что $1 - \sqrt{x} = -(\sqrt{x} - 1)$. Сократим дробь на $(\sqrt{x} - 1)$:
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{-(\sqrt{x} - 1)} = \lim_{x \to 1} -\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)$
Теперь подставим предельное значение $x = 1$:
$-\sqrt{1}(1 + \sqrt{1} + 1) = -1(1 + 1 + 1) = -1 \cdot 3 = -3$
Ответ: -3

36.14. Вычислите:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 3x}{3\sqrt{x} - 2x}$;

2) $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-\sqrt{x}}$;

3) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$.

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 3x}{3\sqrt{x} - 2x}$.

При подстановке предельного значения $x=0$ в выражение под знаком предела, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки в числителе и знаменателе множитель $\sqrt{x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 3x}{3\sqrt{x} - 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(2 - 3\sqrt{x})}{\sqrt{x}(3 - 2\sqrt{x})}$

Поскольку $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), но не равен ему, то $\sqrt{x} \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $\sqrt{x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 3\sqrt{x}}{3 - 2\sqrt{x}}$

Теперь выполним подстановку $x=0$ в полученное выражение:

$\frac{2 - 3\sqrt{0}}{3 - 2\sqrt{0}} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{3 - 2 \cdot 0} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-\sqrt{x}}$.

При подстановке $x=1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия воспользуемся формулой разности квадратов для числителя, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$.

$x-1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{1-\sqrt{x}}$

В знаменателе вынесем -1 за скобки, чтобы получить множитель, совпадающий с множителем в числителе: $1-\sqrt{x} = -(\sqrt{x}-1)$.

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{-(\sqrt{x}-1)}$

Поскольку $x \to 1$, но $x \neq 1$, то $\sqrt{x}-1 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на этот множитель.

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}+1}{-1} = \lim_{x \to 1} -(\sqrt{x}+1)$

Теперь подставим $x=1$:

$-(\sqrt{1}+1) = -(1+1) = -2$

Ответ: $-2$.

3) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$.

При подстановке $x=1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для раскрытия этой неопределенности введем замену переменной. Пусть $x = t^6$. Так как наименьшее общее кратное порядков корней (2 и 3) равно 6. Если $x \to 1$, то $t \to 1$. Выразим корни через новую переменную:

$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{t^6} = t^2$

$\sqrt{x} = \sqrt{t^6} = t^3$

Подставим замену в исходный предел:

$\lim_{t \to 1} \frac{t^2 - 1}{t^3 - 1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения (разность квадратов и разность кубов):

$\lim_{t \to 1} \frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t^2+t+1)}$

Так как $t \to 1$, но $t \neq 1$, то $(t-1) \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(t-1)$.

$\lim_{t \to 1} \frac{t+1}{t^2+t+1}$

Теперь подставим $t=1$ в полученное выражение:

$\frac{1+1}{1^2+1+1} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.