Страница 270 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.1. Построив график функции $f$, выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1;$

2) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 2;$

3) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2;$

4) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0;$

5) $f(x) = k$, где $k$ — некоторое число, $x_0 = 3;$

6) $f(x) = \frac{|x - 2|}{2 - x}, x_0 = 2.$

1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1$

График функции $f(x) = 2x - 1$ — это прямая линия. Функция является непрерывной на всей числовой оси. Чтобы найти предел функции в точке $x_0 = -1$, достаточно подставить это значение в функцию, так как точка принадлежит области определения.

$\lim_{x \to -1} (2x - 1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.

Когда $x$ стремится к -1 (как слева, так и справа), значения функции $f(x)$ стремятся к -3. Следовательно, предел существует.

Ответ: да, предел существует и равен -3.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}, x_0 = 2$

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=2$, так как в этой точке знаменатель обращается в ноль. Для всех $x \neq 2$ мы можем упростить выражение, разложив числитель на множители:

$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$.

Таким образом, график функции $f(x)$ — это прямая $y = x+2$ с "выколотой" точкой (точкой разрыва) при $x=2$. Координаты этой точки $(2, 2+2)$, то есть $(2, 4)$.

Чтобы найти предел в точке $x_0 = 2$, мы рассматриваем поведение функции в окрестности этой точки, но не в самой точке:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$.

Когда $x$ стремится к 2, значения функции стремятся к 4. Следовательно, предел существует.

Ответ: да, предел существует и равен 4.

3) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = -2$

График функции $f(x) = \frac{1}{x}$ — это гипербола. Функция является непрерывной во всех точках, кроме $x=0$. Точка $x_0 = -2$ входит в область определения функции.

Чтобы найти предел в точке $x_0 = -2$, можно подставить это значение в функцию:

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{x} = \frac{1}{-2} = -0.5$.

Когда $x$ стремится к -2, значения функции стремятся к -0.5. Следовательно, предел существует.

Ответ: да, предел существует и равен -0.5.

4) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0$

График функции $f(x) = \frac{1}{x}$ — это гипербола. Точка $x_0 = 0$ не входит в область определения функции. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой для графика.

Рассмотрим односторонние пределы при $x \to 0$:

Предел слева: когда $x$ стремится к 0, оставаясь отрицательным ($x \to 0^-$), значения $f(x)$ становятся бесконечно большими по модулю отрицательными числами. $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.

Предел справа: когда $x$ стремится к 0, оставаясь положительным ($x \to 0^+$), значения $f(x)$ становятся бесконечно большими положительными числами. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.

Поскольку односторонние пределы не равны (и не являются конечными числами), двусторонний предел функции в точке $x_0 = 0$ не существует.

Ответ: нет, предел не существует.

5) $f(x) = k$, где $k$ — некоторое число, $x_0 = 3$

График функции $f(x) = k$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, k)$. Функция является постоянной и непрерывной на всей числовой оси.

Для любого значения $x$, значение функции равно $k$. Поэтому предел в любой точке, включая $x_0 = 3$, равен $k$.

$\lim_{x \to 3} k = k$.

Когда $x$ стремится к 3, значения функции остаются равными $k$. Следовательно, предел существует.

Ответ: да, предел существует и равен $k$.

6) $f(x) = \frac{|x-2|}{2-x}, x_0 = 2$

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=2$. Раскроем модуль $|x-2|$:

Если $x > 2$, то $x-2 > 0$, и $|x-2| = x-2$. Тогда $f(x) = \frac{x-2}{2-x} = \frac{x-2}{-(x-2)} = -1$.

Если $x < 2$, то $x-2 < 0$, и $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Тогда $f(x) = \frac{2-x}{2-x} = 1$.

График функции состоит из двух лучей: $y=1$ для $x < 2$ и $y=-1$ для $x > 2$. В точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода ("скачок").

Рассмотрим односторонние пределы в точке $x_0=2$:

Предел слева: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} 1 = 1$.

Предел справа: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (-1) = -1$.

Поскольку предел слева не равен пределу справа ($1 \neq -1$), двусторонний предел функции в точке $x_0 = 2$ не существует.

Ответ: нет, предел не существует.

36.2. Построив график функции $f$, выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2x + 1, x_0 = 1;$

2) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -1;$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -3;$

4) $f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}, x_0 = 1.$

1) $f(x) = 2x + 1$, $x_0 = 1$

Функция $f(x) = 2x + 1$ является линейной, ее график — прямая линия. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Функция непрерывна на всей своей области определения.

Для построения графика найдем две точки: например, при $x=0$ получаем $y = 2(0) + 1 = 1$ (точка $(0, 1)$), а при $x=1$ получаем $y = 2(1) + 1 = 3$ (точка $(1, 3)$). График представляет собой прямую, проходящую через эти точки. Из графика видно, что при приближении $x$ к 1 как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же числу — 3. Это означает, что предел функции в точке $x_0 = 1$ существует.

Проверим это аналитически. Поскольку функция непрерывна в точке $x_0 = 1$, ее предел в этой точке равен значению функции в этой точке:

$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2(1) + 1 = 3$.

Левосторонний и правосторонний пределы также равны 3:

$\lim_{x \to 1^-} (2x+1) = 3$ и $\lim_{x \to 1^+} (2x+1) = 3$.

Так как односторонние пределы существуют и равны, предел функции в точке $x_0 = 1$ существует и равен 3.

Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = 1$, равный 3.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$, $x_0 = -1$

Функция $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ является рациональной. Область определения функции: $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения функции.

Упростим выражение для функции, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов:

$f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$.

При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на $(x+3)$, получив $f(x) = x - 3$.

Таким образом, график функции $f(x)$ совпадает с графиком линейной функции $y = x - 3$ во всех точках, кроме точки $x = -3$, где исходная функция не определена (на графике в этой точке будет "выколотая" точка). График $y = x-3$ — это прямая линия. Точка $x_0 = -1$ не является точкой разрыва. Из графика видно, что при приближении $x$ к -1 как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к значению прямой $y=x-3$ в этой точке.

Найдем предел функции в точке $x_0 = -1$. Так как в окрестности точки $x_0 = -1$ функция совпадает с непрерывной функцией $y = x - 3$, ее предел равен значению этой функции в данной точке:

$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (x-3) = -1 - 3 = -4$.

Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = -1$, равный -4.

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$, $x_0 = -3$

Это та же функция, что и в предыдущем пункте. Как мы установили, область определения функции $f(x)$ — все действительные числа, кроме $x = -3$. Таким образом, функция не определена в точке $x_0 = -3$.

Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой при $x = -3$. Найдем координаты этой точки: $y = -3 - 3 = -6$. Точка разрыва — $(-3, -6)$.

Несмотря на то, что функция не определена в точке $x_0 = -3$, мы можем найти ее предел в этой точке. Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не в самой точке. Из графика видно, что при приближении $x$ к -3 (как слева, так и справа), значения функции $f(x)$ стремятся к -6. Это означает, что предел существует.

Вычислим предел аналитически, используя упрощенное выражение для функции:

$\lim_{x \to -3} f(x) = \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = \lim_{x \to -3} (x-3) = -3 - 3 = -6$.

Левосторонний и правосторонний пределы равны:

$\lim_{x \to -3^-} (x-3) = -6$ и $\lim_{x \to -3^+} (x-3) = -6$.

Так как односторонние пределы существуют и равны, предел функции в точке $x_0 = -3$ существует.

Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = -3$, равный -6.

4) $f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}$, $x_0 = 1$

Область определения функции: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Функция не определена в точке $x_0 = 1$.

Раскроем модуль в числителе. По определению модуля:

$|x - 1| = \begin{cases} x - 1, & \text{если } x - 1 > 0 \implies x > 1 \\ -(x - 1), & \text{если } x - 1 < 0 \implies x < 1 \end{cases}$

Тогда функцию $f(x)$ можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{x-1} = 1, & \text{если } x > 1 \\ \frac{-(x-1)}{x-1} = -1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей: $y = 1$ для $x > 1$ и $y = -1$ для $x < 1$. В точке $x = 1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). На графике будут две выколотые точки: $(1, -1)$ и $(1, 1)$.

Чтобы определить, существует ли предел в точке $x_0 = 1$, нужно найти левосторонний и правосторонний пределы и сравнить их.

Правосторонний предел (при $x \to 1$ справа, то есть $x > 1$):

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 1 = 1$.

Левосторонний предел (при $x \to 1$ слева, то есть $x < 1$):

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-1) = -1$.

Так как левосторонний предел не равен правостороннему ($\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$, поскольку $-1 \neq 1$), то предел функции в точке $x_0 = 1$ не существует.

Ответ: нет, функция не имеет предела в точке $x_0 = 1$.

36.3. С помощью графика функции $f$ (рис. 36.15) выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$.

а

б

в

г

д

е

ж

з

и

к

л

Рис. 36.15

Для того чтобы функция $f$ имела предел в точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны ее односторонние пределы в этой точке: предел слева и предел справа. То есть, должно выполняться равенство $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$, где $L$ — конечное число. Значение самой функции в точке $x_0$ (существует оно или нет) на существование предела не влияет.

а) На графике видно, что при приближении к точке $x_0$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же значению, равному $f(x_0)$. Функция непрерывна в этой точке. Следовательно, предел существует.
Ответ: да.

б) Аналогично предыдущему случаю, функция непрерывна в точке $x_0$. Левосторонний и правосторонний пределы равны значению функции в этой точке. Предел существует.
Ответ: да.

в) В точке $x_0$ функция имеет устранимый разрыв. При приближении к $x_0$ как слева, так и справа, значения функции стремятся к одному и тому же значению (координате y "выколотой" точки). Хотя значение функции $f(x_0)$ отличается от этого предельного значения, односторонние пределы существуют и равны друг другу. Следовательно, предел существует.
Ответ: да.

г) В точке $x_0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Предел слева ($\lim_{x \to x_0^-} f(x)$) не равен пределу справа ($\lim_{x \to x_0^+} f(x)$), так как левая и правая части графика подходят к разным по высоте точкам. Поскольку односторонние пределы не равны, предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет.

д) В точке $x_0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Как и в предыдущем случае, левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$). Следовательно, предел не существует.
Ответ: нет.

е) В точке $x_0$ функция имеет разрыв второго рода. Прямая $x=x_0$ является вертикальной асимптотой. При приближении к $x_0$ слева функция стремится к $-\infty$, а при приближении справа — к $+\infty$. Так как пределы не являются конечными числами, предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет.

ж) В точке $x_0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Левосторонний предел существует и конечен, правосторонний предел также существует и конечен, но они не равны друг другу. Следовательно, предел не существует.
Ответ: нет.

з) В точке $x_0$ функция имеет разрыв второго рода (вертикальная асимптота). При приближении к $x_0$ как слева, так и справа, функция стремится к $-\infty$. Поскольку предел не является конечным числом, он не существует.
Ответ: нет.

и) Функция определена только на промежутке $(-\infty, x_0]$. Существует только левосторонний предел $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$. Правосторонний предел не существует, так как функция не определена справа от точки $x_0$. Для существования (двустороннего) предела необходимо, чтобы существовали оба односторонних предела. Следовательно, предел не существует.
Ответ: нет.

к) Аналогично случаю (и), функция определена только для $x \leq x_0$. Существует только левосторонний предел. Правосторонний предел не существует. Следовательно, (двусторонний) предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет.

л) Функция определена только на промежутке $[x_0, +\infty)$. Существует только правосторонний предел $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$. Левосторонний предел не существует, так как функция не определена слева от точки $x_0$. Следовательно, (двусторонний) предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет.

36.4. На рисунке 36.16 изображён график функции $y = f(x)$.

1) Чему равно значение функции $f$ в точке $x_0 = 1$?

2) Существует ли предел функции $f$ в точке $x_0 = 1$? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.

3) Существует ли предел функции $f$ в точке $x_0 = 2$? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.

Рис. 36.16 a б

Рисунок 36.16 а

1) Чему равно значение функции f в точке x₀ = 1?
На графике функции в точке, где абсцисса $x_0 = 1$, мы видим две точки: одну закрашенную (сплошную) и одну выколотую (пустую). Значение функции в точке определяется положением закрашенной точки. Координаты этой точки — $(1, 2)$. Следовательно, значение функции $f$ в точке $x_0 = 1$ равно 2.
Ответ: $f(1) = 2$.

2) Существует ли предел функции f в точке x₀ = 1? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.
Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны друг другу левосторонний и правосторонний пределы в этой точке.
Найдем левосторонний предел (приближаемся к $x=1$ слева, $x \to 1^-$): по графику видно, что значения функции стремятся к 2. Таким образом, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$.
Найдем правосторонний предел (приближаемся к $x=1$ справа, $x \to 1^+$): по графику видно, что значения функции стремятся к 1.5. Таким образом, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1.5$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($2 \neq 1.5$), предел функции $f$ в точке $x_0 = 1$ не существует.
Ответ: нет, предел не существует.

3) Существует ли предел функции f в точке x₀ = 2? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.
Аналогично предыдущему пункту, проверим односторонние пределы в точке $x_0 = 2$.
Левосторонний предел: когда $x$ стремится к 2 слева ($x \to 2^-$), значения функции $f(x)$ стремятся к 1. То есть, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$.
Правосторонний предел: когда $x$ стремится к 2 справа ($x \to 2^+$), значения функции $f(x)$ также стремятся к 1. То есть, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы равны, предел функции в точке $x_0 = 2$ существует и равен их общему значению.
Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$.

Рисунок 36.16 б

1) Чему равно значение функции f в точке x₀ = 1?
На графике в точке $x_0 = 1$ линия непрерывна. Чтобы найти значение функции, нужно найти ординату точки на графике с абсциссой 1. Эта точка имеет координаты $(1, 2)$. Следовательно, $f(1) = 2$.
Ответ: $f(1) = 2$.

2) Существует ли предел функции f в точке x₀ = 1? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.
Проверим равенство односторонних пределов в точке $x_0 = 1$.
Когда $x$ стремится к 1 слева ($x \to 1^-$), значения функции $f(x)$ стремятся к 2. Таким образом, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$.
Когда $x$ стремится к 1 справа ($x \to 1^+$), значения функции $f(x)$ также стремятся к 2. Таким образом, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$.
Односторонние пределы равны, следовательно, предел функции в этой точке существует и равен 2.
Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

3) Существует ли предел функции f в точке x₀ = 2? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.
На графике в точке $x_0 = 2$ изображена выколотая точка. Это означает, что функция в самой точке $x=2$ не определена. Однако для существования предела значение функции в самой точке не имеет значения.
Найдем односторонние пределы.
Левосторонний предел: когда $x$ стремится к 2 слева ($x \to 2^-$), значения функции $f(x)$ стремятся к 1. Таким образом, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$.
Правосторонний предел: когда $x$ стремится к 2 справа ($x \to 2^+$), значения функции $f(x)$ также стремятся к 1. Таким образом, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы равны, предел функции в точке $x_0 = 2$ существует и равен 1.
Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$.

36.5. Используя график соответствующей функции, проверьте справедливость следующих равенств:

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos x = 0;$

2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}};$

3) $\lim_{x \to 0} \arcsin x = -\frac{\pi}{6};$

4) $\lim_{x \to 0} \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}.$

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos x = 0$

Рассмотрим график функции $y = \cos x$. Это непрерывная периодическая функция, определенная на всей числовой прямой. Чтобы найти предел функции при $x \to \frac{\pi}{2}$, нужно посмотреть, к какому значению стремится $y$, когда $x$ приближается к $\frac{\pi}{2}$. На графике функции $y = \cos x$ (косинусоиде) видно, что в точке $x = \frac{\pi}{2}$ график пересекает ось абсцисс, то есть значение функции в этой точке равно 0. Поскольку функция $y=\cos x$ непрерывна в точке $x = \frac{\pi}{2}$, предел функции при стремлении $x$ к этой точке равен значению функции в этой точке. Следовательно, $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Данное равенство справедливо.
Ответ: справедливо.

2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Рассмотрим график функции $y = \operatorname{tg} x$. Функция $y=\operatorname{tg} x$ непрерывна на всей своей области определения, которая состоит из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n$ — целое число. Точка $x = \frac{\pi}{6}$ принадлежит области определения и непрерывности функции. Следовательно, предел функции в этой точке равен ее значению. По графику функции $y=\operatorname{tg} x$ можно определить, что при $x = \frac{\pi}{6}$ значение функции положительно и меньше 1. Точное значение функции в этой точке: $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sin(\pi/6)}{\cos(\pi/6)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Таким образом, $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Данное равенство справедливо.
Ответ: справедливо.

3) $\lim_{x \to 0} \arcsin x = -\frac{\pi}{6}$

Рассмотрим график функции $y = \arcsin x$. Эта функция определена и непрерывна на отрезке $[-1, 1]$. Точка $x=0$ принадлежит этому отрезку. Предел функции в точке непрерывности равен значению функции в этой точке. График функции $y = \arcsin x$ проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Это означает, что $\arcsin(0) = 0$. Следовательно, $\lim_{x \to 0} \arcsin x = \arcsin(0) = 0$. В условии же указано, что предел равен $-\frac{\pi}{6}$. Поскольку $0 \neq -\frac{\pi}{6}$, данное равенство не справедливо.
Ответ: не справедливо.

4) $\lim_{x \to 0} \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$

Рассмотрим график функции $y = \operatorname{arcctg} x$. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Предел функции в точке непрерывности равен значению функции в этой точке. Чтобы найти предел при $x \to 0$, нужно найти значение $\operatorname{arcctg}(0)$. На графике функции $y = \operatorname{arcctg} x$ видно, что при $x=0$ график пересекает ось ординат в точке $y = \frac{\pi}{2}$. Это следует из определения арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(0)$ — это такое число $y$ из интервала $(0, \pi)$, что $\operatorname{ctg}(y) = 0$. Этим числом является $y = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\lim_{x \to 0} \operatorname{arcctg} x = \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$. Данное равенство справедливо.
Ответ: справедливо.