Номер 36.2, страница 270 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.2. Построив график функции $f$, выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2x + 1, x_0 = 1;$

2) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -1;$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}, x_0 = -3;$

4) $f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}, x_0 = 1.$

1) $f(x) = 2x + 1$, $x_0 = 1$

Функция $f(x) = 2x + 1$ является линейной, ее график — прямая линия. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Функция непрерывна на всей своей области определения.

Для построения графика найдем две точки: например, при $x=0$ получаем $y = 2(0) + 1 = 1$ (точка $(0, 1)$), а при $x=1$ получаем $y = 2(1) + 1 = 3$ (точка $(1, 3)$). График представляет собой прямую, проходящую через эти точки. Из графика видно, что при приближении $x$ к 1 как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же числу — 3. Это означает, что предел функции в точке $x_0 = 1$ существует.

Проверим это аналитически. Поскольку функция непрерывна в точке $x_0 = 1$, ее предел в этой точке равен значению функции в этой точке:

$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2(1) + 1 = 3$.

Левосторонний и правосторонний пределы также равны 3:

$\lim_{x \to 1^-} (2x+1) = 3$ и $\lim_{x \to 1^+} (2x+1) = 3$.

Так как односторонние пределы существуют и равны, предел функции в точке $x_0 = 1$ существует и равен 3.

Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = 1$, равный 3.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$, $x_0 = -1$

Функция $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ является рациональной. Область определения функции: $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения функции.

Упростим выражение для функции, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов:

$f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$.

При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на $(x+3)$, получив $f(x) = x - 3$.

Таким образом, график функции $f(x)$ совпадает с графиком линейной функции $y = x - 3$ во всех точках, кроме точки $x = -3$, где исходная функция не определена (на графике в этой точке будет "выколотая" точка). График $y = x-3$ — это прямая линия. Точка $x_0 = -1$ не является точкой разрыва. Из графика видно, что при приближении $x$ к -1 как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к значению прямой $y=x-3$ в этой точке.

Найдем предел функции в точке $x_0 = -1$. Так как в окрестности точки $x_0 = -1$ функция совпадает с непрерывной функцией $y = x - 3$, ее предел равен значению этой функции в данной точке:

$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (x-3) = -1 - 3 = -4$.

Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = -1$, равный -4.

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$, $x_0 = -3$

Это та же функция, что и в предыдущем пункте. Как мы установили, область определения функции $f(x)$ — все действительные числа, кроме $x = -3$. Таким образом, функция не определена в точке $x_0 = -3$.

Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой при $x = -3$. Найдем координаты этой точки: $y = -3 - 3 = -6$. Точка разрыва — $(-3, -6)$.

Несмотря на то, что функция не определена в точке $x_0 = -3$, мы можем найти ее предел в этой точке. Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не в самой точке. Из графика видно, что при приближении $x$ к -3 (как слева, так и справа), значения функции $f(x)$ стремятся к -6. Это означает, что предел существует.

Вычислим предел аналитически, используя упрощенное выражение для функции:

$\lim_{x \to -3} f(x) = \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = \lim_{x \to -3} (x-3) = -3 - 3 = -6$.

Левосторонний и правосторонний пределы равны:

$\lim_{x \to -3^-} (x-3) = -6$ и $\lim_{x \to -3^+} (x-3) = -6$.

Так как односторонние пределы существуют и равны, предел функции в точке $x_0 = -3$ существует.

Ответ: да, функция имеет предел в точке $x_0 = -3$, равный -6.

4) $f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}$, $x_0 = 1$

Область определения функции: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Функция не определена в точке $x_0 = 1$.

Раскроем модуль в числителе. По определению модуля:

$|x - 1| = \begin{cases} x - 1, & \text{если } x - 1 > 0 \implies x > 1 \\ -(x - 1), & \text{если } x - 1 < 0 \implies x < 1 \end{cases}$

Тогда функцию $f(x)$ можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{x-1} = 1, & \text{если } x > 1 \\ \frac{-(x-1)}{x-1} = -1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей: $y = 1$ для $x > 1$ и $y = -1$ для $x < 1$. В точке $x = 1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). На графике будут две выколотые точки: $(1, -1)$ и $(1, 1)$.

Чтобы определить, существует ли предел в точке $x_0 = 1$, нужно найти левосторонний и правосторонний пределы и сравнить их.

Правосторонний предел (при $x \to 1$ справа, то есть $x > 1$):

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 1 = 1$.

Левосторонний предел (при $x \to 1$ слева, то есть $x < 1$):

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-1) = -1$.

Так как левосторонний предел не равен правостороннему ($\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$, поскольку $-1 \neq 1$), то предел функции в точке $x_0 = 1$ не существует.

Ответ: нет, функция не имеет предела в точке $x_0 = 1$.