Номер 36.6, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.6. Используя график соответствующей функции, проверьте справедливость следующих равенств:

1) $\lim_{x \to \pi} \sin x = 0$;

2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\lim_{x \to 0} \arccos x = \frac{\pi}{2}$;

4) $\lim_{x \to 0} \operatorname{arctg} x = 1$.

1) Для проверки равенства $\lim_{x \to \pi} \sin x = 0$ рассмотрим график функции $y = \sin x$.

Функция $y = \sin x$ является непрерывной на всей числовой прямой. Предел непрерывной функции в точке равен значению функции в этой точке. Из графика функции $y = \sin x$ (синусоиды) мы видим, что при $x = \pi$ значение функции равно 0. Когда $x$ стремится к $\pi$, значения $y$ на графике стремятся к 0. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

2) Для проверки равенства $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ рассмотрим график функции $y = \cos x$.

Функция $y = \cos x$ является непрерывной на всей числовой прямой. По графику функции (косинусоиде) видно, что при приближении аргумента $x$ к значению $\frac{\pi}{4}$, значения функции $y$ приближаются к значению $\cos(\frac{\pi}{4})$. Это табличное значение, равное $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, предел функции в этой точке равен значению функции, и равенство является верным.

Ответ: Равенство справедливо.

3) Для проверки равенства $\lim_{x \to 0} \arccos x = \frac{\pi}{2}$ рассмотрим график функции $y = \arccos x$.

Функция $y = \arccos x$ определена и непрерывна на отрезке $[-1, 1]$. Точка $x=0$ входит в область определения. По графику функции арккосинуса видно, что он проходит через точку с координатами $(0, \frac{\pi}{2})$. Поскольку функция непрерывна в этой точке, предел при $x$, стремящемся к 0, равен значению функции в этой точке, то есть $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$. Равенство верно.

Ответ: Равенство справедливо.

4) Для проверки равенства $\lim_{x \to 0} \operatorname{arcctg} x = 1$ рассмотрим график функции $y = \operatorname{arcctg} x$.

Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ является непрерывной на всей числовой прямой. Найдём её предел при $x \to 0$, посмотрев на её график. График функции арккотангенса проходит через точку $(0, \frac{\pi}{2})$. Так как функция непрерывна в точке $x=0$, то её предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to 0} \operatorname{arcctg} x = \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку $\pi \approx 3.14159...$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$, что не равно 1. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство не справедливо.