Номер 36.12, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.12. Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3}$;

2) $\lim_{x \to -3} \left( \frac{1}{x+3} + \frac{6}{x^2 - 9} \right)$.

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3}$.

При прямой подстановке значения $x=1$ в числитель и знаменатель дроби получаем:

Числитель: $1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Знаменатель: $1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

Мы получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку при $x=1$ оба многочлена обращаются в ноль, то $(x-1)$ является их общим множителем.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=2$. Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Следовательно, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Теперь вернемся к вычислению предела:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-3)}$

Поскольку $x$ стремится к 1, но не равен 1 ($x \ne 1$), мы можем сократить дробь на множитель $(x-1)$:

$\lim_{x \to 1} \frac{x-2}{x-3}$

Теперь выполним подстановку $x=1$ в полученное выражение:

$\frac{1-2}{1-3} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Вычислим предел $\lim_{x \to -3} \left(\frac{1}{x+3} + \frac{6}{x^2 - 9}\right)$.

При прямой подстановке значения $x=-3$ в каждое слагаемое получаем бесконечности ($\frac{1}{0}$ и $\frac{6}{0}$), что приводит к неопределенности вида "$\infty - \infty$".

Для раскрытия этой неопределенности приведем дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

$\lim_{x \to -3} \left(\frac{1}{x+3} + \frac{6}{(x-3)(x+3)}\right)$

Общий знаменатель равен $(x-3)(x+3)$. Приведем первое слагаемое к этому знаменателю:

$\lim_{x \to -3} \left(\frac{1 \cdot (x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{6}{(x-3)(x+3)}\right)$

Теперь сложим дроби:

$\lim_{x \to -3} \frac{(x-3)+6}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to -3} \frac{x+3}{(x-3)(x+3)}$

Поскольку $x$ стремится к -3, но не равен -3 ($x \ne -3$), мы можем сократить дробь на множитель $(x+3)$:

$\lim_{x \to -3} \frac{1}{x-3}$

Теперь выполним подстановку $x=-3$ в полученное выражение:

$\frac{1}{-3-3} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$