Вопросы?, страница 283 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют приращением аргумента в точке; приращением функции в точке?

2. Опишите, что называют мгновенной скоростью.

3. Опишите, что называют касательной к графику функции.

1. Что называют приращением аргумента в точке; приращением функции в точке?

Пусть задана функция $y = f(x)$ и точка $x_0$ из её области определения.

Приращением аргумента в точке $x_0$ называется разность между новым значением аргумента $x$ и его первоначальным значением $x_0$. Обозначается как $\Delta x$ (дельта икс).

Формула: $\Delta x = x - x_0$. Отсюда новое значение аргумента можно выразить как $x = x_0 + \Delta x$.

Приращением функции в точке $x_0$ называется разность между новым значением функции $f(x_0 + \Delta x)$ и её первоначальным значением $f(x_0)$. Оно соответствует приращению аргумента $\Delta x$ и обозначается как $\Delta y$ или $\Delta f$.

Формула: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Ответ: Приращение аргумента $\Delta x$ — это изменение независимой переменной ($x - x_0$). Приращение функции $\Delta y$ — это соответствующее ему изменение зависимой переменной ($f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$).

2. Опишите, что называют мгновенной скоростью.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль прямой, где её координата в момент времени $t$ задаётся законом $s(t)$.

Средняя скорость движения за промежуток времени от $t_0$ до $t_0 + \Delta t$ вычисляется как отношение приращения пути $\Delta s$ к приращению времени $\Delta t$:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$

Мгновенной скоростью материальной точки в момент времени $t_0$ называется предел, к которому стремится средняя скорость на промежутке $[t_0, t_0 + \Delta t]$ при условии, что $\Delta t$ стремится к нулю ($\Delta t \to 0$).

Математически это определение записывается так:

$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$

Этот предел является производной функции пути $s(t)$ по времени $t$. Таким образом, мгновенная скорость — это производная от координаты по времени: $v(t) = s'(t)$.

Ответ: Мгновенная скорость — это предел отношения приращения пути к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю. Это физический смысл производной функции пути по времени.

3. Опишите, что называют касательной к графику функции.

Пусть дана функция $y = f(x)$ и точка $M_0(x_0, f(x_0))$, лежащая на её графике. Возьмём на графике другую точку $M(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$.

Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей.

Касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $M_0$ называется предельное положение секущей $M_0M$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль графика функции (то есть при $\Delta x \to 0$).

Угловой коэффициент секущей равен $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. Угловой коэффициент касательной, соответственно, равен пределу этого отношения при $\Delta x \to 0$, что является определением производной функции в точке $x_0$.

Таким образом, касательная — это прямая, проходящая через точку $(x_0, f(x_0))$ и имеющая угловой коэффициент, равный значению производной функции в этой точке, $k = f'(x_0)$.

Ответ: Касательная к графику функции в точке $M_0$ — это прямая, являющаяся предельным положением секущей, проведённой через точку $M_0$ и другую точку графика $M$, при условии, что точка $M$ стремится к $M_0$.