Страница 283 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют приращением аргумента в точке; приращением функции в точке?

2. Опишите, что называют мгновенной скоростью.

3. Опишите, что называют касательной к графику функции.

1. Что называют приращением аргумента в точке; приращением функции в точке?

Пусть задана функция $y = f(x)$ и точка $x_0$ из её области определения.

Приращением аргумента в точке $x_0$ называется разность между новым значением аргумента $x$ и его первоначальным значением $x_0$. Обозначается как $\Delta x$ (дельта икс).

Формула: $\Delta x = x - x_0$. Отсюда новое значение аргумента можно выразить как $x = x_0 + \Delta x$.

Приращением функции в точке $x_0$ называется разность между новым значением функции $f(x_0 + \Delta x)$ и её первоначальным значением $f(x_0)$. Оно соответствует приращению аргумента $\Delta x$ и обозначается как $\Delta y$ или $\Delta f$.

Формула: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Ответ: Приращение аргумента $\Delta x$ — это изменение независимой переменной ($x - x_0$). Приращение функции $\Delta y$ — это соответствующее ему изменение зависимой переменной ($f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$).

2. Опишите, что называют мгновенной скоростью.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль прямой, где её координата в момент времени $t$ задаётся законом $s(t)$.

Средняя скорость движения за промежуток времени от $t_0$ до $t_0 + \Delta t$ вычисляется как отношение приращения пути $\Delta s$ к приращению времени $\Delta t$:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$

Мгновенной скоростью материальной точки в момент времени $t_0$ называется предел, к которому стремится средняя скорость на промежутке $[t_0, t_0 + \Delta t]$ при условии, что $\Delta t$ стремится к нулю ($\Delta t \to 0$).

Математически это определение записывается так:

$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$

Этот предел является производной функции пути $s(t)$ по времени $t$. Таким образом, мгновенная скорость — это производная от координаты по времени: $v(t) = s'(t)$.

Ответ: Мгновенная скорость — это предел отношения приращения пути к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю. Это физический смысл производной функции пути по времени.

3. Опишите, что называют касательной к графику функции.

Пусть дана функция $y = f(x)$ и точка $M_0(x_0, f(x_0))$, лежащая на её графике. Возьмём на графике другую точку $M(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$.

Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей.

Касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $M_0$ называется предельное положение секущей $M_0M$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль графика функции (то есть при $\Delta x \to 0$).

Угловой коэффициент секущей равен $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. Угловой коэффициент касательной, соответственно, равен пределу этого отношения при $\Delta x \to 0$, что является определением производной функции в точке $x_0$.

Таким образом, касательная — это прямая, проходящая через точку $(x_0, f(x_0))$ и имеющая угловой коэффициент, равный значению производной функции в этой точке, $k = f'(x_0)$.

Ответ: Касательная к графику функции в точке $M_0$ — это прямая, являющаяся предельным положением секущей, проведённой через точку $M_0$ и другую точку графика $M$, при условии, что точка $M$ стремится к $M_0$.

37.1. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = 3x^2 - 2x, x_0 = 2, \Delta x = 0,1;$

2) $f(x) = \frac{6}{x}, x_0 = 1,2, \Delta x = -0,3.$

Приращение функции $f$ в точке $x_0$ (обозначается как $\Delta f$ или $\Delta y$) — это разность между значением функции в точке $x_0 + \Delta x$ и значением функции в точке $x_0$. Оно вычисляется по формуле:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

1) $f(x) = 3x^2 - 2x, x_0 = 2, \Delta x = 0,1$

1. Найдем значение функции в начальной точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 = 3 \cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8$.

2. Найдем новую точку, в которой будем вычислять функцию: $x_0 + \Delta x = 2 + 0,1 = 2,1$.

3. Найдем значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x = 2,1$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(2,1) = 3 \cdot (2,1)^2 - 2 \cdot 2,1 = 3 \cdot 4,41 - 4,2 = 13,23 - 4,2 = 9,03$.

4. Вычислим приращение функции как разность найденных значений:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 9,03 - 8 = 1,03$.

Ответ: 1,03

2) $f(x) = \frac{6}{x}, x_0 = 1,2, \Delta x = -0,3$

1. Найдем значение функции в начальной точке $x_0 = 1,2$:

$f(x_0) = f(1,2) = \frac{6}{1,2} = \frac{60}{12} = 5$.

2. Найдем новую точку: $x_0 + \Delta x = 1,2 + (-0,3) = 1,2 - 0,3 = 0,9$.

3. Найдем значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x = 0,9$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(0,9) = \frac{6}{0,9} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$.

4. Вычислим приращение функции:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{20}{3} - 5 = \frac{20}{3} - \frac{15}{3} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$

37.2. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = 4 - 3x$, $x_0 = 1$, $\Delta x = 0,3$;

2) $f(x) = 0,5x^2$, $x_0 = -2$, $\Delta x = 0,8$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ определяется как разность значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$. Формула для вычисления приращения:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

1) Даны функция $f(x) = 4 - 3x$, точка $x_0 = 1$ и приращение аргумента $\Delta x = 0,3$.

Сначала вычислим значение аргумента в конечной точке:

$x_0 + \Delta x = 1 + 0,3 = 1,3$

Теперь найдем значения функции в начальной и конечной точках:

$f(x_0) = f(1) = 4 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1$

$f(x_0 + \Delta x) = f(1,3) = 4 - 3 \cdot 1,3 = 4 - 3,9 = 0,1$

Наконец, найдем приращение функции как разность этих значений:

$\Delta f = f(1,3) - f(1) = 0,1 - 1 = -0,9$

Ответ: -0,9.

2) Даны функция $f(x) = 0,5x^2$, точка $x_0 = -2$ и приращение аргумента $\Delta x = 0,8$.

Вычислим значение аргумента в конечной точке:

$x_0 + \Delta x = -2 + 0,8 = -1,2$

Найдем значения функции в начальной и конечной точках:

$f(x_0) = f(-2) = 0,5 \cdot (-2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$

$f(x_0 + \Delta x) = f(-1,2) = 0,5 \cdot (-1,2)^2 = 0,5 \cdot 1,44 = 0,72$

Найдем приращение функции:

$\Delta f = f(-1,2) - f(-2) = 0,72 - 2 = -1,28$

Ответ: -1,28.

37.3. Для функции $f(x) = x^2 - 3x$ выразите приращение $\Delta f$ функции $f$ в точке $x_0$ через $x_0$ и $x$. Найдите $\Delta f$, если: 1) $x_0 = 3, x = 2,5$; 2) $x_0 = -2, x = -1$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ определяется как разность значений функции в точках $x$ и $x_0$. Формула для приращения:

$\Delta f = f(x) - f(x_0)$

Для данной функции $f(x) = x^2 - 3x$ найдем значения $f(x)$ и $f(x_0)$ и подставим их в формулу приращения:

$\Delta f = (x^2 - 3x) - (x_0^2 - 3x_0)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые для упрощения:

$\Delta f = x^2 - 3x - x_0^2 + 3x_0 = (x^2 - x_0^2) - (3x - 3x_0)$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынося общий множитель за скобки, получаем:

$\Delta f = (x - x_0)(x + x_0) - 3(x - x_0)$

$\Delta f = (x - x_0)(x + x_0 - 3)$

Это выражение для приращения функции $f$ в точке $x_0$ через $x_0$ и $x$. Теперь найдем численные значения $\Delta f$ для заданных условий.

1) $x_0 = 3$, $x = 2,5$

Подставим значения $x_0$ и $x$ в полученную формулу:

$\Delta f = (2,5 - 3)(2,5 + 3 - 3) = (-0,5) \cdot (2,5) = -1,25$

Ответ: $-1,25$

2) $x_0 = -2$, $x = -1$

Подставим значения $x_0$ и $x$ в формулу:

$\Delta f = (-1 - (-2))(-1 + (-2) - 3) = (-1 + 2)(-1 - 2 - 3) = 1 \cdot (-6) = -6$

Ответ: $-6$

37.4. Для функции $f(x)=x^3$ выразите приращение $\Delta f$ функции $f$ в точке $x_0$ через $x_0$ и $x$. Найдите $\Delta f$, если $x_0=0,5$, $x=0,4$.

Выражение приращения функции $\Delta f$ через $x_0$ и $x$

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ по определению равно разности значений функции в конечной точке $x$ и начальной точке $x_0$.

Формула приращения функции имеет вид:

$\Delta f = f(x) - f(x_0)$

Для заданной функции $f(x) = x^3$ подставим ее в формулу приращения:

$\Delta f = x^3 - x_0^3$

Это и есть выражение для приращения функции $f(x) = x^3$ через $x$ и $x_0$. Его также можно представить, используя формулу разности кубов:

$\Delta f = (x - x_0)(x^2 + x x_0 + x_0^2)$

Ответ: $\Delta f = x^3 - x_0^3$.

Нахождение $\Delta f$, если $x_0 = 0,5$, $x = 0,4$

Теперь, используя полученную формулу, найдем значение приращения для конкретных значений $x_0 = 0,5$ и $x = 0,4$.

Подставим эти значения в выражение для $\Delta f$:

$\Delta f = (0,4)^3 - (0,5)^3$

Вычислим значения в кубе:

$(0,4)^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 \cdot 0,4 = 0,064$

$(0,5)^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$

Теперь найдем разность:

$\Delta f = 0,064 - 0,125 = -0,061$

Ответ: $-0,061$.

37.5. Для функции $f(x) = x^2 - x$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Для решения задачи сначала найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$, а затем вычислим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и его предел при $\Delta x \to 0$.

Приращение функции $\Delta f$ определяется как $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.
Для заданной функции $f(x) = x^2 - x$ найдем значения в точках $x_0$ и $x_0 + \Delta x$:
$f(x_0) = x_0^2 - x_0$
$f(x_0 + \Delta x) = (x_0 + \Delta x)^2 - (x_0 + \Delta x) = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) - x_0 - \Delta x$
Теперь вычислим приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x) - (x_0^2 - x_0)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\Delta f = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x - x_0^2 + x_0 = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x$
Теперь найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x}{\Delta x}$
Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь (при условии, что $\Delta x \neq 0$):
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x_0 + \Delta x - 1)}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x - 1$
Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x - 1$.

Далее найдем предел полученного отношения при $\Delta x \to 0$. Этот предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x - 1)$
Так как выражение под знаком предела является непрерывной функцией относительно $\Delta x$, мы можем выполнить предельный переход, подставив $\Delta x = 0$:
$\lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x - 1) = 2x_0 + 0 - 1 = 2x_0 - 1$
Ответ: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = 2x_0 - 1$.

37.6. Для функции $f(x) = 5x + 1$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$

Дана функция $f(x) = 5x + 1$ и точка $x_0$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ определяется как разность значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Найдем значения функции в этих точках:

$f(x_0) = 5x_0 + 1$

$f(x_0 + \Delta x) = 5(x_0 + \Delta x) + 1 = 5x_0 + 5\Delta x + 1$

Теперь вычислим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = (5x_0 + 5\Delta x + 1) - (5x_0 + 1) = 5x_0 + 5\Delta x + 1 - 5x_0 - 1 = 5\Delta x$

Отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ (также известное как разностное отношение) равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{5\Delta x}{\Delta x} = 5$

Ответ: 5

Найдите $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$

Этот предел является определением производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Используя результат, полученный в предыдущем пункте, где $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 5$, найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 5$

Предел константы равен самой константе, независимо от переменной, к которой он стремится. Поэтому:

$\lim_{\Delta x \to 0} 5 = 5$

Ответ: 5

37.7. Материальная точка двигается по координатной прямой по закону $s(t) = 2t^2 + 3$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент $t_0 = 2 \text{ с.}$

Мгновенная скорость материальной точки $v(t)$ есть производная от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$.

По условию, закон движения точки задан функцией $s(t) = 2t^2 + 3$.

Найдем производную этой функции, чтобы получить функцию скорости $v(t)$:

$v(t) = s'(t) = (2t^2 + 3)'$

Используя правила дифференцирования (производная суммы равна сумме производных, константа выносится за знак производной, производная константы равна нулю, и производная степенной функции $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$), получаем:

$v(t) = (2t^2)' + (3)' = 2 \cdot (t^2)' + 0 = 2 \cdot 2t = 4t$

Таким образом, зависимость скорости от времени выражается функцией $v(t) = 4t$.

Теперь найдем мгновенную скорость в момент времени $t_0 = 2$ с, подставив это значение в найденную функцию скорости:

$v(2) = 4 \cdot 2 = 8$

Поскольку перемещение измеряется в метрах, а время — в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 8 м/с.

37.8. Тело движется по координатной прямой по закону $s(t) = 5t^2$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите:

1) среднюю скорость тела при изменении времени от $t_0 = 1$ с до $t_1 = 3$ с;

2) мгновенную скорость тела в момент $t_0 = 1$ с.

1) среднюю скорость тела при изменении времени от $t_0 = 1$ с до $t_1 = 3$ с;

Средняя скорость $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_0$ до $t_1$ вычисляется как отношение изменения перемещения $\Delta s$ к изменению времени $\Delta t$:
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_1) - s(t_0)}{t_1 - t_0}$

Закон движения тела задан функцией $s(t) = 5t^2$. Найдем положения тела в начальный и конечный моменты времени:
Положение в момент $t_0 = 1$ с: $s(1) = 5 \cdot 1^2 = 5$ м.
Положение в момент $t_1 = 3$ с: $s(3) = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45$ м.

Теперь подставим найденные значения в формулу для средней скорости:
$v_{ср} = \frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{45 - 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$ м/с.

Ответ: 20 м/с.

2) мгновенную скорость тела в момент $t_0 = 1$ с.

Мгновенная скорость $v(t)$ является производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$. Физический смысл производной функции перемещения по времени — это мгновенная скорость.
$v(t) = s'(t)$

Найдем производную от функции $s(t) = 5t^2$:
$v(t) = (5t^2)' = 5 \cdot (t^2)' = 5 \cdot 2t = 10t$.
Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид $v(t) = 10t$.

Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени $t_0 = 1$ с, подставим это значение в полученное выражение для скорости:
$v(1) = 10 \cdot 1 = 10$ м/с.

Ответ: 10 м/с.

37.9. Найдите угловой коэффициент:

1) секущей графика функции $y = x^2$, проходящей через точки графика с абсциссами $x_0 = 1$ и $x_1 = 1,6$;

2) касательной к графику функции $y = x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1) секущей графика функции y = x², проходящей через точки графика с абсциссами x₀ = 1 и x₁ = 1,6;

Угловой коэффициент секущей, проходящей через две точки графика $(x_0, y_0)$ и $(x_1, y_1)$, находится по формуле $k = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$.

Для функции $y = x^2$ найдем координаты точек.

При $x_0 = 1$, ордината $y_0 = 1^2 = 1$. Координаты первой точки: $(1; 1)$.

При $x_1 = 1,6$, ордината $y_1 = (1,6)^2 = 2,56$. Координаты второй точки: $(1,6; 2,56)$.

Теперь вычислим угловой коэффициент секущей:

$k = \frac{2,56 - 1}{1,6 - 1} = \frac{1,56}{0,6} = 2,6$

Ответ: 2,6

2) касательной к графику функции y = x² в точке с абсциссой x₀ = 1.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции $f'(x)$ в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = x^2$:

$f'(x) = (x^2)' = 2x$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: 2

37.10. Найдите угловой коэффициент:

1) секущей графика функции $y = x^3$, проходящей через точки графика с абсциссами $x_0 = 2$ и $x_1 = 1$;

2) касательной к графику функции $y = x^3$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

1) Угловой коэффициент секущей, проходящей через две точки графика функции $(x_0, y_0)$ и $(x_1, y_1)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

В данном случае функция $y = f(x) = x^3$. Нам даны абсциссы двух точек: $x_0 = 2$ и $x_1 = 1$.

Сначала найдем соответствующие ординаты (значения функции) для этих точек:

При $x_0 = 2$, $y_0 = f(2) = 2^3 = 8$.

При $x_1 = 1$, $y_1 = f(1) = 1^3 = 1$.

Таким образом, секущая проходит через точки с координатами $(2, 8)$ и $(1, 1)$.

Теперь подставим координаты этих точек в формулу для углового коэффициента:

$k = \frac{1 - 8}{1 - 2} = \frac{-7}{-1} = 7$

Ответ: 7

2) Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Дана функция $y = f(x) = x^3$.

Найдем ее производную, используя правило степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$

Теперь вычислим значение производной в точке с абсциссой $x_0 = 2$:

$k = f'(2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: 12