Номер 36.14, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.14. Вычислите:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 3x}{3\sqrt{x} - 2x}$;

2) $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-\sqrt{x}}$;

3) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$.

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 3x}{3\sqrt{x} - 2x}$.

При подстановке предельного значения $x=0$ в выражение под знаком предела, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки в числителе и знаменателе множитель $\sqrt{x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 3x}{3\sqrt{x} - 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(2 - 3\sqrt{x})}{\sqrt{x}(3 - 2\sqrt{x})}$

Поскольку $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), но не равен ему, то $\sqrt{x} \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $\sqrt{x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 3\sqrt{x}}{3 - 2\sqrt{x}}$

Теперь выполним подстановку $x=0$ в полученное выражение:

$\frac{2 - 3\sqrt{0}}{3 - 2\sqrt{0}} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{3 - 2 \cdot 0} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-\sqrt{x}}$.

При подстановке $x=1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия воспользуемся формулой разности квадратов для числителя, представив $x$ как $(\sqrt{x})^2$.

$x-1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{1-\sqrt{x}}$

В знаменателе вынесем -1 за скобки, чтобы получить множитель, совпадающий с множителем в числителе: $1-\sqrt{x} = -(\sqrt{x}-1)$.

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{-(\sqrt{x}-1)}$

Поскольку $x \to 1$, но $x \neq 1$, то $\sqrt{x}-1 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на этот множитель.

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}+1}{-1} = \lim_{x \to 1} -(\sqrt{x}+1)$

Теперь подставим $x=1$:

$-(\sqrt{1}+1) = -(1+1) = -2$

Ответ: $-2$.

3) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}$.

При подстановке $x=1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для раскрытия этой неопределенности введем замену переменной. Пусть $x = t^6$. Так как наименьшее общее кратное порядков корней (2 и 3) равно 6. Если $x \to 1$, то $t \to 1$. Выразим корни через новую переменную:

$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{t^6} = t^2$

$\sqrt{x} = \sqrt{t^6} = t^3$

Подставим замену в исходный предел:

$\lim_{t \to 1} \frac{t^2 - 1}{t^3 - 1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения (разность квадратов и разность кубов):

$\lim_{t \to 1} \frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t^2+t+1)}$

Так как $t \to 1$, но $t \neq 1$, то $(t-1) \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(t-1)$.

$\lim_{t \to 1} \frac{t+1}{t^2+t+1}$

Теперь подставим $t=1$ в полученное выражение:

$\frac{1+1}{1^2+1+1} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.