Вопросы?, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют пределом функции в точке?

2. Сформулируйте теоремы о пределе функции в точке.

3. Опишите, какую функцию называют непрерывной в точке; на множестве.

1. Что называют пределом функции в точке?

Пределом функции $f(x)$ в точке $x_0$ называют такое число $A$, к которому стремится значение функции $f(x)$, когда ее аргумент $x$ неограниченно приближается к $x_0$. При этом значение аргумента $x$ не совпадает с $x_0$.

Более строгое определение (на языке "эпсилон-дельта", или определение Коши):

Число $A$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $x_0$, если для любого положительного числа $\epsilon > 0$ (эпсилон) найдется такое положительное число $\delta > 0$ (дельта), что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - A| < \epsilon$.

Это записывается так: $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$.

Ответ:

2. Сформулируйте теоремы о пределе функции в точке.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют конечные пределы в точке $x_0$, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ и $\lim_{x \to x_0} g(x) = B$. Тогда справедливы следующие теоремы:

• Предел постоянной величины равен самой этой величине: $\lim_{x \to x_0} C = C$, где $C$ — константа.
• Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов: $\lim_{x \to x_0} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x) = A \pm B$.
• Предел произведения функций равен произведению их пределов: $\lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = A \cdot B$.
• Постоянный множитель можно выносить за знак предела: $\lim_{x \to x_0} (C \cdot f(x)) = C \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) = C \cdot A$.
• Предел частного двух функций равен частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю: $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} = \frac{A}{B}$, при условии что $B \ne 0$.

Ответ:

3. Опишите, какую функцию называют непрерывной в точке; на множестве.

Непрерывность в точке:

Функцию $f(x)$ называют непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. То есть, должно выполняться равенство: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Это условие подразумевает выполнение трёх требований:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$ (то есть существует значение $f(x_0)$).
2. Существует конечный предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Этот предел равен значению функции в точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Непрерывность на множестве:

Функцию называют непрерывной на некотором множестве (например, на интервале $(a, b)$ или отрезке $[a, b]$), если она непрерывна в каждой точке этого множества. График такой функции на данном множестве представляет собой сплошную линию, которую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

Ответ: