Номер 36.3, страница 270 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.3. С помощью графика функции $f$ (рис. 36.15) выясните, имеет ли функция $f$ предел в точке $x_0$.

а

б

в

г

д

е

ж

з

и

к

л

Рис. 36.15

Для того чтобы функция $f$ имела предел в точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны ее односторонние пределы в этой точке: предел слева и предел справа. То есть, должно выполняться равенство $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$, где $L$ — конечное число. Значение самой функции в точке $x_0$ (существует оно или нет) на существование предела не влияет.

а) На графике видно, что при приближении к точке $x_0$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же значению, равному $f(x_0)$. Функция непрерывна в этой точке. Следовательно, предел существует.
Ответ: да.

б) Аналогично предыдущему случаю, функция непрерывна в точке $x_0$. Левосторонний и правосторонний пределы равны значению функции в этой точке. Предел существует.
Ответ: да.

в) В точке $x_0$ функция имеет устранимый разрыв. При приближении к $x_0$ как слева, так и справа, значения функции стремятся к одному и тому же значению (координате y "выколотой" точки). Хотя значение функции $f(x_0)$ отличается от этого предельного значения, односторонние пределы существуют и равны друг другу. Следовательно, предел существует.
Ответ: да.

г) В точке $x_0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Предел слева ($\lim_{x \to x_0^-} f(x)$) не равен пределу справа ($\lim_{x \to x_0^+} f(x)$), так как левая и правая части графика подходят к разным по высоте точкам. Поскольку односторонние пределы не равны, предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет.

д) В точке $x_0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Как и в предыдущем случае, левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$). Следовательно, предел не существует.
Ответ: нет.

е) В точке $x_0$ функция имеет разрыв второго рода. Прямая $x=x_0$ является вертикальной асимптотой. При приближении к $x_0$ слева функция стремится к $-\infty$, а при приближении справа — к $+\infty$. Так как пределы не являются конечными числами, предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет.

ж) В точке $x_0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Левосторонний предел существует и конечен, правосторонний предел также существует и конечен, но они не равны друг другу. Следовательно, предел не существует.
Ответ: нет.

з) В точке $x_0$ функция имеет разрыв второго рода (вертикальная асимптота). При приближении к $x_0$ как слева, так и справа, функция стремится к $-\infty$. Поскольку предел не является конечным числом, он не существует.
Ответ: нет.

и) Функция определена только на промежутке $(-\infty, x_0]$. Существует только левосторонний предел $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$. Правосторонний предел не существует, так как функция не определена справа от точки $x_0$. Для существования (двустороннего) предела необходимо, чтобы существовали оба односторонних предела. Следовательно, предел не существует.
Ответ: нет.

к) Аналогично случаю (и), функция определена только для $x \leq x_0$. Существует только левосторонний предел. Правосторонний предел не существует. Следовательно, (двусторонний) предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет.

л) Функция определена только на промежутке $[x_0, +\infty)$. Существует только правосторонний предел $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$. Левосторонний предел не существует, так как функция не определена слева от точки $x_0$. Следовательно, (двусторонний) предел в точке $x_0$ не существует.
Ответ: нет.