Страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют производной функции в точке?

2. Запишите равенства, выражающие механический и геометрический смысл производной.

3. Какую функцию называют дифференцируемой в точке; на множестве?

1. Что называют производной функции в точке?
Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называют предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю, при условии, что этот предел существует и конечен.
Обозначается производная как $f'(x_0)$ или $y'(x_0)$.
Формула для нахождения производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
где $\Delta x$ — приращение аргумента, а $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ — приращение функции.
Ответ: Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

2. Запишите равенства, выражающие механический и геометрический смысл производной.
Механический (или физический) смысл производной:
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется со временем по закону $s(t)$, то производная этой функции по времени $t$ равна мгновенной скорости движения точки в момент времени $t_0$.
Равенство: $v(t_0) = s'(t_0)$.

Геометрический смысл производной:
Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox.
Равенство: $f'(x_0) = k = \tan \alpha$.
Ответ: Механический смысл: $v(t_0) = s'(t_0)$. Геометрический смысл: $f'(x_0) = \tan \alpha$.

3. Какую функцию называют дифференцируемой в точке; на множестве?
Дифференцируемость в точке:
Функцию $y=f(x)$ называют дифференцируемой в точке $x_0$, если в этой точке существует ее производная, то есть существует конечный предел $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. Важным свойством является то, что если функция дифференцируема в точке, она обязательно непрерывна в этой точке.

Дифференцируемость на множестве:
Функцию называют дифференцируемой на некотором множестве (например, на интервале $(a, b)$), если она дифференцируема в каждой точке этого множества. Это означает, что для любой точки $x$ из этого множества существует производная $f'(x)$.
Ответ: Функцию называют дифференцируемой в точке, если в этой точке существует ее производная. Функцию называют дифференцируемой на множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

38.1. Найдите производную функции:

1) $y = 5x - 6$;

2) $y = \frac{1-x}{3}$;

3) $y = 9$.

1) Дана функция $y = 5x - 6$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом производной разности $(u - v)' = u' - v'$, правилом вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, и табличными производными: $(x)'=1$ и $(C)'=0$, где $C$ - константа.

Применяя эти правила, получаем:

$y' = (5x - 6)' = (5x)' - (6)' = 5 \cdot (x)' - 0 = 5 \cdot 1 - 0 = 5$.

Ответ: $y' = 5$

2) Дана функция $y = \frac{1-x}{3}$.

Сначала представим функцию в виде разности двух слагаемых для удобства дифференцирования:

$y = \frac{1}{3} - \frac{x}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}x$.

Теперь найдем производную, используя те же правила, что и в первом пункте:

$y' = (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}x)' = (\frac{1}{3})' - (\frac{1}{3}x)' = 0 - \frac{1}{3} \cdot (x)' = 0 - \frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{3}$

3) Дана функция $y = 9$.

Эта функция является константой, так как ее значение не зависит от переменной $x$. Производная любой константы равна нулю: $(C)' = 0$.

Следовательно:

$y' = (9)' = 0$.

Ответ: $y' = 0$

38.2. Найдите производную функции:

1) $y = x^4$;

2) $y = x^{20}$;

3) $y = x^{-15}$;

4) $y = \frac{1}{x^{17}}$;

5) $y = x^{-2,8}$;

6) $y = x^{\frac{1}{5}}$.

Для решения всех пунктов используется формула производной степенной функции: $(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$.

1) Дана функция $y = x^4$.

Применяем формулу производной степенной функции, где $p=4$:

$y' = (x^4)' = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3$.

Ответ: $4x^3$.

2) Дана функция $y = x^{20}$.

Применяем формулу производной степенной функции, где $p=20$:

$y' = (x^{20})' = 20 \cdot x^{20-1} = 20x^{19}$.

Ответ: $20x^{19}$.

3) Дана функция $y = x^{-15}$.

Применяем формулу производной степенной функции, где $p=-15$:

$y' = (x^{-15})' = -15 \cdot x^{-15-1} = -15x^{-16}$.

Ответ: $-15x^{-16}$.

4) Дана функция $y = \frac{1}{x^{17}}$.

Сначала преобразуем функцию к виду $x^p$, используя свойство степени $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:

$y = x^{-17}$.

Теперь находим производную, где $p=-17$:

$y' = (x^{-17})' = -17 \cdot x^{-17-1} = -17x^{-18}$.

Ответ: $-17x^{-18}$.

5) Дана функция $y = x^{-2,8}$.

Применяем формулу производной степенной функции, где $p=-2,8$:

$y' = (x^{-2,8})' = -2,8 \cdot x^{-2,8-1} = -2,8x^{-3,8}$.

Ответ: $-2,8x^{-3,8}$.

6) Дана функция $y = x^{\frac{1}{5}}$.

Применяем формулу производной степенной функции, где $p=\frac{1}{5}$:

$y' = (x^{\frac{1}{5}})' = \frac{1}{5} \cdot x^{\frac{1}{5}-1}$.

Вычислим новый показатель степени: $\frac{1}{5} - 1 = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{4}{5}$.

Таким образом, производная равна:

$y' = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$.

Ответ: $\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$.

38.3. Найдите производную функции:

1) $y = x^{10}$;

2) $y = x^{-6}$;

3) $y = \frac{1}{x^8}$;

4) $y = 8 - 3x$;

5) $y = x^{\frac{7}{6}}$;

6) $y = x^{-0.2}$.

Для нахождения производных данных функций будем использовать основную формулу для производной степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$, а также правила дифференцирования суммы/разности и константы.

1) Дана функция $y = x^{10}$.
Применяем формулу производной степенной функции, где $n=10$:
$y' = (x^{10})' = 10 \cdot x^{10-1} = 10x^9$.
Ответ: $y' = 10x^9$.

2) Дана функция $y = x^{-6}$.
Применяем формулу производной степенной функции, где $n=-6$:
$y' = (x^{-6})' = -6 \cdot x^{-6-1} = -6x^{-7}$.
Ответ: $y' = -6x^{-7}$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{x^8}$.
Сначала преобразуем функцию, используя свойство степени $ \frac{1}{a^m} = a^{-m} $:
$y = x^{-8}$.
Теперь находим производную, где $n=-8$:
$y' = (x^{-8})' = -8 \cdot x^{-8-1} = -8x^{-9}$.
Ответ: $y' = -8x^{-9}$.

4) Дана функция $y = 8 - 3x$.
Используем правила дифференцирования: производная разности равна разности производных, производная константы равна нулю, а производная $kx$ равна $k$.
$y' = (8 - 3x)' = (8)' - (3x)' = 0 - 3 = -3$.
Ответ: $y' = -3$.

5) Дана функция $y = x^{\frac{7}{6}}$.
Применяем формулу производной степенной функции, где $n=\frac{7}{6}$:
$y' = (x^{\frac{7}{6}})' = \frac{7}{6} \cdot x^{\frac{7}{6}-1}$.
Вычислим новый показатель степени: $\frac{7}{6}-1 = \frac{7}{6} - \frac{6}{6} = \frac{1}{6}$.
Следовательно, $y' = \frac{7}{6}x^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $y' = \frac{7}{6}x^{\frac{1}{6}}$.

6) Дана функция $y = x^{-0,2}$.
Применяем формулу производной степенной функции, где $n=-0,2$:
$y' = (x^{-0,2})' = -0,2 \cdot x^{-0,2-1}$.
Вычислим новый показатель степени: $-0,2 - 1 = -1,2$.
Следовательно, $y' = -0,2x^{-1,2}$.
Ответ: $y' = -0,2x^{-1,2}$.

38.4. Продифференцируйте функцию:

1) $y = \sqrt[4]{x}$;

2) $y = \sqrt[8]{x^7}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$.

Для нахождения производных данных функций мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$. Для этого каждую функцию необходимо сначала представить в виде $y = x^n$.

1) $y = \sqrt[4]{x}$
Сначала представим функцию в виде степени с рациональным показателем:
$y = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$.
Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции, где $n = \frac{1}{4}$:
$y' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-\frac{4}{4}} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.
Результат можно переписать в виде корня:
$y' = \frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

2) $y = \sqrt[8]{x^7}$
Представим функцию в виде степени с рациональным показателем:
$y = \sqrt[8]{x^7} = x^{\frac{7}{8}}$.
Найдем производную, где $n = \frac{7}{8}$:
$y' = (x^{\frac{7}{8}})' = \frac{7}{8}x^{\frac{7}{8}-1} = \frac{7}{8}x^{\frac{7}{8}-\frac{8}{8}} = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$.
Перепишем результат в виде корня:
$y' = \frac{7}{8x^{\frac{1}{8}}} = \frac{7}{8\sqrt[8]{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{7}{8\sqrt[8]{x}}$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$
Представим функцию в виде степени с рациональным показателем, учитывая, что $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:
$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$.
Найдем производную, где $n = -\frac{1}{2}$:
$y' = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-\frac{2}{2}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.
Перепишем результат в виде дроби с корнем:
$y' = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$.

4) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$
Представим функцию в виде степени с рациональным показателем:
$y = \frac{1}{x^{\frac{5}{8}}} = x^{-\frac{5}{8}}$.
Найдем производную, где $n = -\frac{5}{8}$:
$y' = (x^{-\frac{5}{8}})' = -\frac{5}{8}x^{-\frac{5}{8}-1} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{5}{8}-\frac{8}{8}} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{13}{8}}$.
Перепишем результат в виде дроби с корнем:
$y' = -\frac{5}{8x^{\frac{13}{8}}} = -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}}$.
Ответ: $y' = -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}}$.