Страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.18. На рисунке 38.13 изображён график функции $f$. Укажите точки, в которых производная равна нулю, и точки, в которых производная не существует.

Рис. 38.13

Точки, в которых производная равна нулю

Геометрический смысл производной функции в точке — это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Если производная равна нулю ($f'(x) = 0$), то касательная к графику горизонтальна. Такое происходит в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов), где график функции является гладким.

На представленном графике можно выделить следующие точки, где касательная будет горизонтальна:

• $x = -2$ (точка локального максимума);
• $x = 1$ (точка локального минимума);
• $x = 3$ (точка локального максимума).

Ответ: -2; 1; 3.

Точки, в которых производная не существует

Производная функции не существует в точках, где график имеет "излом" (острый угол) или вертикальную касательную. В таких точках невозможно однозначно провести касательную.

На графике функции $f$ виден излом в точке с абсциссой $x = -4$. В этой точке график резко меняет направление, и невозможно провести единственную касательную. Следовательно, в этой точке производная не существует.

Ответ: -4.

38.19. На рисунке 38.14 изображён график функции f. Сравните:

1) $f'(-5)$ и $f'(1)$;
2) $f'(-1)$ и $f'(6)$;
3) $f'(-2)$ и $f'(4)$;
4) $f'(0)$ и $f'(5)$.

Рис. 38.14

Для сравнения значений производной функции в различных точках воспользуемся её геометрическим смыслом. Значение производной функции $f'(x_0)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

• Если функция возрастает в точке, то касательная направлена вверх (при движении слева направо), и её угловой коэффициент положителен, то есть $f'(x) > 0$.
• Если функция убывает в точке, то касательная направлена вниз, и её угловой коэффициент отрицателен, то есть $f'(x) < 0$.
• В точках экстремума (локальных максимумов и минимумов) касательная горизонтальна, её угловой коэффициент равен нулю, то есть $f'(x) = 0$.
• Чем круче идет вверх график, тем больше значение производной. Чем круче идет вниз график, тем значение производной меньше (более отрицательно).

1) f'(-5) и f'(1)

Найдём на графике точку с абсциссой $x = -5$. В этой точке функция $f(x)$ возрастает, следовательно, производная в этой точке положительна: $f'(-5) > 0$.
Найдём на графике точку с абсциссой $x = 1$. В этой точке функция $f(x)$ убывает, следовательно, производная в этой точке отрицательна: $f'(1) < 0$.
Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, то $f'(-5) > f'(1)$.

Ответ: $f'(-5) > f'(1)$.

2) f'(-1) и f'(6)

В точке $x = -1$ функция $f(x)$ убывает. Это означает, что её производная в данной точке отрицательна: $f'(-1) < 0$.
В точке $x = 6$ функция $f(x)$ возрастает. Это означает, что её производная в данной точке положительна: $f'(6) > 0$.
Сравнивая отрицательное и положительное числа, получаем $f'(-1) < f'(6)$.

Ответ: $f'(-1) < f'(6)$.

3) f'(-2) и f'(4)

Точка $x = -2$ является точкой локального максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, $f'(-2) = 0$.
Точка $x = 4$ является точкой локального минимума. Касательная к графику в этой точке также горизонтальна, и её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, $f'(4) = 0$.
Таким образом, значения производных в этих точках равны.

Ответ: $f'(-2) = f'(4)$.

4) f'(0) и f'(5)

В точке $x = 0$ (на оси ординат) функция $f(x)$ убывает. Производная в этой точке отрицательна: $f'(0) < 0$.
В точке $x = 5$ функция $f(x)$ возрастает. Производная в этой точке положительна: $f'(5) > 0$.
Отрицательное число всегда меньше положительного, поэтому $f'(0) < f'(5)$.

Ответ: $f'(0) < f'(5)$.

38.20. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = t^2$. Найдите $s'\left(\frac{1}{2}\right)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

Найдите $s'(\frac{1}{2})$

Закон движения материальной точки по координатной прямой задан функцией $s(t) = t^2$. Чтобы найти значение $s'(\frac{1}{2})$, сначала необходимо найти производную функции $s(t)$ по времени $t$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$:

$s'(t) = (t^2)' = 2 \cdot t^{2-1} = 2t$.

Теперь подставим значение $t = \frac{1}{2}$ в полученное выражение для производной:

$s'(\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $s'(\frac{1}{2}) = 1$.

Какой механический смысл имеет найденная величина?

Механический смысл производной от закона движения по времени заключается в том, что она определяет мгновенную скорость движущейся точки. Если $s(t)$ — это координата точки в момент времени $t$, то $s'(t)$ — это ее мгновенная скорость $v(t)$ в этот же момент времени.

Следовательно, найденная величина $s'(\frac{1}{2})$ представляет собой мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t = \frac{1}{2}$.

Ответ: Найденная величина — это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t = \frac{1}{2}$.

38.21. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = t^3$. Найдите $s'(2)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

Найдите s'(2)
Закон движения материальной точки задан функцией $s(t) = t^3$, где $s$ — координата точки, а $t$ — время. Чтобы найти $s'(2)$, необходимо сначала найти производную функции $s(t)$ по переменной $t$.
Производная функции пути по времени представляет собой мгновенную скорость $v(t)$.
$v(t) = s'(t) = (t^3)'$
Используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$s'(t) = 3t^{3-1} = 3t^2$
Теперь, чтобы найти значение производной в точке $t=2$, подставим это значение в полученное выражение:
$s'(2) = 3 \cdot (2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$
Ответ: 12

Какой механический смысл имеет найденная величина?
Механический (или физический) смысл первой производной от координаты по времени заключается в том, что она равна мгновенной скорости движения. То есть, $s'(t)$ — это функция, описывающая мгновенную скорость материальной точки в любой момент времени $t$.
Соответственно, найденная величина $s'(2) = 12$ представляет собой мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t=2$.
Ответ: мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=2$.

38.22. Используя геометрический смысл производной, докажите, что функция $y = \sqrt{1 - x^2}$ не является дифференцируемой в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{1 - x^2}$. Графиком этой функции является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом 1, так как из уравнения следует $x^2 + y^2 = 1$ при условии $y \ge 0$. Область определения функции: $x \in [-1, 1]$.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Функция является дифференцируемой в точке, если в этой точке можно провести единственную касательную, и эта касательная не является вертикальной.

$x_1 = -1$
В точке с абсциссой $x_1 = -1$ значение функции равно $y = \sqrt{1 - (-1)^2} = 0$. Таким образом, мы рассматриваем точку $(-1, 0)$ на графике. Касательная к полуокружности в этой крайней левой точке является вертикальной прямой, заданной уравнением $x = -1$. Угловой коэффициент вертикальной прямой не определен. Так как производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, а он не определен, то функция не является дифференцируемой в точке $x_1 = -1$.
Ответ: в точке $x_1 = -1$ касательная к графику функции вертикальна, ее угловой коэффициент не определен, следовательно, функция не дифференцируема в этой точке.

$x_2 = 1$
В точке с абсциссой $x_2 = 1$ значение функции равно $y = \sqrt{1 - 1^2} = 0$. Мы рассматриваем точку $(1, 0)$ на графике. Аналогично предыдущему случаю, касательная к полуокружности в этой крайней правой точке является вертикальной прямой, заданной уравнением $x = 1$. Угловой коэффициент этой прямой также не определен. Следовательно, функция не является дифференцируемой в точке $x_2 = 1$.
Ответ: в точке $x_2 = 1$ касательная к графику функции вертикальна, ее угловой коэффициент не определен, следовательно, функция не дифференцируема в этой точке.