Номер 38.22, страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.22. Используя геометрический смысл производной, докажите, что функция $y = \sqrt{1 - x^2}$ не является дифференцируемой в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{1 - x^2}$. Графиком этой функции является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом 1, так как из уравнения следует $x^2 + y^2 = 1$ при условии $y \ge 0$. Область определения функции: $x \in [-1, 1]$.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Функция является дифференцируемой в точке, если в этой точке можно провести единственную касательную, и эта касательная не является вертикальной.

$x_1 = -1$
В точке с абсциссой $x_1 = -1$ значение функции равно $y = \sqrt{1 - (-1)^2} = 0$. Таким образом, мы рассматриваем точку $(-1, 0)$ на графике. Касательная к полуокружности в этой крайней левой точке является вертикальной прямой, заданной уравнением $x = -1$. Угловой коэффициент вертикальной прямой не определен. Так как производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, а он не определен, то функция не является дифференцируемой в точке $x_1 = -1$.
Ответ: в точке $x_1 = -1$ касательная к графику функции вертикальна, ее угловой коэффициент не определен, следовательно, функция не дифференцируема в этой точке.

$x_2 = 1$
В точке с абсциссой $x_2 = 1$ значение функции равно $y = \sqrt{1 - 1^2} = 0$. Мы рассматриваем точку $(1, 0)$ на графике. Аналогично предыдущему случаю, касательная к полуокружности в этой крайней правой точке является вертикальной прямой, заданной уравнением $x = 1$. Угловой коэффициент этой прямой также не определен. Следовательно, функция не является дифференцируемой в точке $x_2 = 1$.
Ответ: в точке $x_2 = 1$ касательная к графику функции вертикальна, ее угловой коэффициент не определен, следовательно, функция не дифференцируема в этой точке.