gdz.top
Номер 38.24, страница 295 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 38. Понятие производной - номер 38.24, страница 295.
№38.23
№38.24 (с. 295)
Условие. №38.24 (с. 295)
38.24. Найдите производную функции $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & \text{если } x \le 2 \\ 4x - 6, & \text{если } x > 2 \end{cases}$ в точке $x_0 = 2$.
Решение. №38.24 (с. 295)
Чтобы найти производную функции $f(x)$ в точке $x_0 = 2$, необходимо проверить, является ли функция дифференцируемой в этой точке. Функция дифференцируема в точке, если она в этой точке непрерывна, а также если её левосторонняя и правосторонняя производные в этой точке существуют и равны.
1. Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 2$
Функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке равен её значению в этой точке. Проверим равенство односторонних пределов и значения функции.
Значение функции в точке $x_0 = 2$ (согласно условию $x \le 2$):
$f(2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.
Левосторонний предел (при $x \to 2^-$, т.е. $x < 2$):
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 2) = 2^2 - 2 = 2$.
Правосторонний предел (при $x \to 2^+$, т.е. $x > 2$):
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (4x - 6) = 4 \cdot 2 - 6 = 8 - 6 = 2$.
Поскольку $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 2$, функция непрерывна в точке $x_0 = 2$.
2. Вычисление односторонних производных в точке $x_0 = 2$
Теперь найдем левостороннюю и правостороннюю производные в точке $x_0 = 2$.
Левосторонняя производная $f'_-(2)$ — это производная функции $y = x^2 - 2$ в точке $x = 2$:
$f'_-(x) = (x^2 - 2)' = 2x$.
$f'_-(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
Правосторонняя производная $f'_+(2)$ — это производная функции $y = 4x - 6$ в точке $x = 2$:
$f'_+(x) = (4x - 6)' = 4$.
$f'_+(2) = 4$.
3. Сравнение односторонних производных
Так как левосторонняя производная $f'_-(2) = 4$ и правосторонняя производная $f'_+(2) = 4$ равны, то производная функции $f(x)$ в точке $x_0 = 2$ существует и равна их общему значению.
$f'(2) = 4$.
Ответ: $4$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 38.24 расположенного на странице 295 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №38.24 (с. 295), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.