Номер 39.1, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.1. Найдите производную функции:

1) $y = x^3 - 3x^2 + 6x - 10;$

2) $y = 4x^6 + 20\sqrt{x};$

3) $y = 7x^6 + \frac{4}{x} - 1;$

4) $y = 4\sin x - 5\cos x;$

5) $y = \operatorname{tg} x - 9x;$

6) $y = 2x^{-2} + 3x^{-3}.$

1) Дана функция $y = x^3 - 3x^2 + 6x - 10$.
Чтобы найти производную, применяем правило дифференцирования суммы/разности функций, а также формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и производной константы $(C)' = 0$.
$y' = (x^3 - 3x^2 + 6x - 10)' = (x^3)' - (3x^2)' + (6x)' - (10)'$
Вычисляем производную для каждого слагаемого:
$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$
$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$
$(6x)' = 6 \cdot 1x^{1-1} = 6x^0 = 6$
$(10)' = 0$
Собрав все вместе, получаем:
$y' = 3x^2 - 6x + 6$
Ответ: $y' = 3x^2 - 6x + 6$

2) Дана функция $y = 4x^6 + 20\sqrt{x}$.
Представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Функция примет вид: $y = 4x^6 + 20x^{1/2}$.
Применяем правило дифференцирования суммы и степенной функции:
$y' = (4x^6 + 20x^{1/2})' = (4x^6)' + (20x^{1/2})'$
Находим производную каждого слагаемого:
$(4x^6)' = 4 \cdot 6x^{6-1} = 24x^5$
$(20x^{1/2})' = 20 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 10x^{-1/2}$
Запишем $x^{-1/2}$ в виде дроби с корнем: $10x^{-1/2} = \frac{10}{\sqrt{x}}$.
Итоговая производная:
$y' = 24x^5 + \frac{10}{\sqrt{x}}$
Ответ: $y' = 24x^5 + \frac{10}{\sqrt{x}}$

3) Дана функция $y = 7x^6 + \frac{4}{x} - 1$.
Представим дробь $\frac{4}{x}$ в виде степени: $4x^{-1}$. Функция примет вид: $y = 7x^6 + 4x^{-1} - 1$.
Дифференцируем по правилам:
$y' = (7x^6 + 4x^{-1} - 1)' = (7x^6)' + (4x^{-1})' - (1)'$
Вычисляем каждую производную отдельно:
$(7x^6)' = 7 \cdot 6x^{6-1} = 42x^5$
$(4x^{-1})' = 4 \cdot (-1)x^{-1-1} = -4x^{-2}$
$(1)' = 0$
Запишем $x^{-2}$ в виде дроби: $-4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$.
Объединяем результаты:
$y' = 42x^5 - \frac{4}{x^2}$
Ответ: $y' = 42x^5 - \frac{4}{x^2}$

4) Дана функция $y = 4\sin x - 5\cos x$.
Используем правила дифференцирования тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.
$y' = (4\sin x - 5\cos x)' = (4\sin x)' - (5\cos x)'$
Находим производные:
$(4\sin x)' = 4 \cdot (\sin x)' = 4\cos x$
$(5\cos x)' = 5 \cdot (\cos x)' = 5(-\sin x) = -5\sin x$
Подставляем в выражение:
$y' = 4\cos x - (-5\sin x) = 4\cos x + 5\sin x$
Ответ: $y' = 4\cos x + 5\sin x$

5) Дана функция $y = \text{tg }x - 9x$.
Используем производную тангенса $(\text{tg }x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и производную степенной функции.
$y' = (\text{tg }x - 9x)' = (\text{tg }x)' - (9x)'$
Находим производные:
$(\text{tg }x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
$(9x)' = 9$
Получаем разность:
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - 9$
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} - 9$

6) Дана функция $y = 2x^{-2} + 3x^{-3}$.
Применяем правило дифференцирования суммы и степенной функции.
$y' = (2x^{-2} + 3x^{-3})' = (2x^{-2})' + (3x^{-3})'$
Дифференцируем каждое слагаемое:
$(2x^{-2})' = 2 \cdot (-2)x^{-2-1} = -4x^{-3}$
$(3x^{-3})' = 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = -9x^{-4}$
Складываем результаты:
$y' = -4x^{-3} - 9x^{-4}$
Этот результат можно также представить в виде дробей: $y' = -\frac{4}{x^3} - \frac{9}{x^4}$.
Ответ: $y' = -4x^{-3} - 9x^{-4}$