Номер 39.5, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.5. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{5}{3x-2}$;

2) $y = \frac{x^3}{\cos x}$;

3) $y = \frac{3-x^2}{4+2x}$;

4) $y = \frac{x^2-5x}{x-7}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{5}{3x - 2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u = 5$ и $v = 3x - 2$.

Найдем производные для $u$ и $v$: $u' = (5)' = 0$ и $v' = (3x - 2)' = 3$.

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{0 \cdot (3x - 2) - 5 \cdot 3}{(3x - 2)^2} = \frac{0 - 15}{(3x - 2)^2} = -\frac{15}{(3x - 2)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{15}{(3x - 2)^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^3}{\cos x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = x^3$ и $v = \cos x$.

Найдем их производные: $u' = (x^3)' = 3x^2$ и $v' = (\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x^3)' \cdot \cos x - x^3 \cdot (\cos x)'}{(\cos x)^2} = \frac{3x^2 \cdot \cos x - x^3 \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$.

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{3x^2 \cos x + x^3 \sin x}{\cos^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{3x^2 \cos x + x^3 \sin x}{\cos^2 x}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{3 - x^2}{4 + 2x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = 3 - x^2$ и $v = 4 + 2x$.

Найдем их производные: $u' = (3 - x^2)' = -2x$ и $v' = (4 + 2x)' = 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(-2x) \cdot (4 + 2x) - (3 - x^2) \cdot 2}{(4 + 2x)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$y' = \frac{-8x - 4x^2 - 6 + 2x^2}{(4 + 2x)^2} = \frac{-2x^2 - 8x - 6}{(4 + 2x)^2}$.

Можно упростить выражение, вынеся общие множители:

$y' = \frac{-2(x^2 + 4x + 3)}{(2(x + 2))^2} = \frac{-2(x^2 + 4x + 3)}{4(x + 2)^2} = -\frac{x^2 + 4x + 3}{2(x + 2)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{x^2 + 4x + 3}{2(x + 2)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2 - 5x}{x - 7}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = x^2 - 5x$ и $v = x - 7$.

Найдем их производные: $u' = (x^2 - 5x)' = 2x - 5$ и $v' = (x - 7)' = 1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2x - 5) \cdot (x - 7) - (x^2 - 5x) \cdot 1}{(x - 7)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$y' = \frac{(2x^2 - 14x - 5x + 35) - (x^2 - 5x)}{(x - 7)^2} = \frac{2x^2 - 19x + 35 - x^2 + 5x}{(x - 7)^2}$.

$y' = \frac{x^2 - 14x + 35}{(x - 7)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 14x + 35}{(x - 7)^2}$.