gdz.top
Номер 39.6, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 39. Правила вычисления производных - номер 39.6, страница 301.
№39.5
№39.6 (с. 301)
Условие. №39.6 (с. 301)
39.6. Найдите производную функции:
1) $y = \frac{3x + 5}{x - 8};$
2) $y = \frac{2x^2}{1 - 6x};$
3) $y = \frac{\sin x}{x};$
4) $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}.$
Решение. №39.6 (с. 301)
Для нахождения производной каждой функции используется правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
1) $y = \frac{3x + 5}{x - 8}$
Пусть $u(x) = 3x + 5$ и $v(x) = x - 8$.
Находим производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (3x + 5)' = 3$
$v'(x) = (x - 8)' = 1$
Применяем формулу производной частного:
$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{3(x - 8) - (3x + 5)(1)}{(x - 8)^2}$
Раскрываем скобки и упрощаем числитель:
$y' = \frac{3x - 24 - 3x - 5}{(x - 8)^2} = \frac{-29}{(x - 8)^2}$
Ответ: $y' = -\frac{29}{(x - 8)^2}$
2) $y = \frac{2x^2}{1 - 6x}$
Пусть $u(x) = 2x^2$ и $v(x) = 1 - 6x$.
Находим производные:
$u'(x) = (2x^2)' = 4x$
$v'(x) = (1 - 6x)' = -6$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{4x(1 - 6x) - 2x^2(-6)}{(1 - 6x)^2}$
Упрощаем числитель:
$y' = \frac{4x - 24x^2 + 12x^2}{(1 - 6x)^2} = \frac{4x - 12x^2}{(1 - 6x)^2}$
Ответ: $y' = \frac{4x - 12x^2}{(1 - 6x)^2}$
3) $y = \frac{\sin x}{x}$
Пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x$.
Находим производные:
$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$
$v'(x) = (x)' = 1$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{(\cos x)(x) - (\sin x)(1)}{x^2}$
Упрощаем выражение:
$y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$
Ответ: $y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$
4) $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
Пусть $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^2 + 1$.
Находим производные:
$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$
$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
Упрощаем числитель:
$y' = \frac{(2x^3 + 2x) - (2x^3 - 2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$
Ответ: $y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 39.6 расположенного на странице 301 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №39.6 (с. 301), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.