Номер 39.13, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.13. Найдите производную функции:

1) $y = (3x - 5)^6$;

2) $y = \sin \frac{x}{3}$;

3) $y = \cos^2 x$;

4) $y = 2 \operatorname{tg} 4x$;

5) $y = \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$;

6) $y = \sqrt{1 - x^2}$;

7) $y = \sqrt[4]{6x + 8}$;

8) $y = (9x - 2)^{-3}$;

9) $y = \sqrt{\cos x}$.

1) Для нахождения производной функции $y = (3x - 5)^6$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Пусть $u = 3x - 5$, тогда $y = u^6$.
Производная $y$ по $x$ равна произведению производной $y$ по $u$ и производной $u$ по $x$:
$y' = (u^6)'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^6)'_u = 6u^{6-1} = 6u^5 = 6(3x - 5)^5$
$u'_x = (3x - 5)' = 3$
Перемножаем результаты:
$y' = 6(3x - 5)^5 \cdot 3 = 18(3x - 5)^5$
Ответ: $y' = 18(3x - 5)^5$

2) Для нахождения производной функции $y = \sin(\frac{x}{3})$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = \frac{x}{3}$, тогда $y = \sin(u)$.
$y' = (\sin(u))'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(\sin(u))'_u = \cos(u) = \cos(\frac{x}{3})$
$u'_x = (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$
Перемножаем результаты:
$y' = \cos(\frac{x}{3}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})$
Ответ: $y' = \frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})$

3) Для нахождения производной функции $y = \cos^2(x)$ представим ее в виде $y = (\cos x)^2$ и используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = \cos x$, тогда $y = u^2$.
$y' = (u^2)'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^2)'_u = 2u = 2\cos x$
$u'_x = (\cos x)' = -\sin x$
Перемножаем результаты:
$y' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$
Используя формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:
$y' = -\sin(2x)$
Ответ: $y' = -\sin(2x)$

4) Для нахождения производной функции $y = 2\tg(4x)$ используем правило дифференцирования сложной функции и правило вынесения константы.
$y' = 2 \cdot (\tg(4x))'$
Пусть $u = 4x$, тогда нам нужно найти производную от $\tg(u)$.
$(\tg(4x))' = (\tg(u))'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(\tg(u))'_u = \frac{1}{\cos^2(u)} = \frac{1}{\cos^2(4x)}$
$u'_x = (4x)' = 4$
Перемножаем результаты:
$(\tg(4x))' = \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = \frac{4}{\cos^2(4x)}$
Теперь умножаем на константу 2:
$y' = 2 \cdot \frac{4}{\cos^2(4x)} = \frac{8}{\cos^2(4x)}$
Ответ: $y' = \frac{8}{\cos^2(4x)}$

5) Для нахождения производной функции $y = \cos(\frac{\pi}{4} - x)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = \frac{\pi}{4} - x$, тогда $y = \cos(u)$.
$y' = (\cos(u))'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(\cos(u))'_u = -\sin(u) = -\sin(\frac{\pi}{4} - x)$
$u'_x = (\frac{\pi}{4} - x)' = 0 - 1 = -1$
Перемножаем результаты:
$y' = -\sin(\frac{\pi}{4} - x) \cdot (-1) = \sin(\frac{\pi}{4} - x)$
Ответ: $y' = \sin(\frac{\pi}{4} - x)$

6) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1 - x^2}$ представим ее в виде $y = (1 - x^2)^{1/2}$ и используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = 1 - x^2$, тогда $y = u^{1/2}$.
$y' = (u^{1/2})'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^{1/2})'_u = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}}$
$u'_x = (1 - x^2)' = -2x$
Перемножаем результаты:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
Ответ: $y' = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

7) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[4]{6x + 8}$ представим ее в виде $y = (6x + 8)^{1/4}$ и используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = 6x + 8$, тогда $y = u^{1/4}$.
$y' = (u^{1/4})'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^{1/4})'_u = \frac{1}{4}u^{-3/4} = \frac{1}{4(6x + 8)^{3/4}}$
$u'_x = (6x + 8)' = 6$
Перемножаем результаты:
$y' = \frac{1}{4(6x + 8)^{3/4}} \cdot 6 = \frac{6}{4(6x + 8)^{3/4}} = \frac{3}{2(6x + 8)^{3/4}}$
Результат можно также записать в виде: $y' = \frac{3}{2\sqrt[4]{(6x + 8)^3}}$
Ответ: $y' = \frac{3}{2\sqrt[4]{(6x + 8)^3}}$

8) Для нахождения производной функции $y = (9x - 2)^{-3}$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = 9x - 2$, тогда $y = u^{-3}$.
$y' = (u^{-3})'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^{-3})'_u = -3u^{-4} = -3(9x - 2)^{-4}$
$u'_x = (9x - 2)' = 9$
Перемножаем результаты:
$y' = -3(9x - 2)^{-4} \cdot 9 = -27(9x - 2)^{-4}$
Результат можно также записать в виде: $y' = -\frac{27}{(9x - 2)^4}$
Ответ: $y' = -27(9x - 2)^{-4}$

9) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{\cos x}$ представим ее в виде $y = (\cos x)^{1/2}$ и используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = \cos x$, тогда $y = u^{1/2}$.
$y' = (u^{1/2})'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^{1/2})'_u = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}}$
$u'_x = (\cos x)' = -\sin x$
Перемножаем результаты:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$
Ответ: $y' = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$