Страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.9. Задайте с помощью формул сложные функции $y = f(g(x))$ и $y = g(f(x))$, если:

1) $f(x) = \sin x, g(x) = x^2 - 1;$

2) $f(x) = x^4, g(x) = 5x + 2;$

3) $f(x) = \sqrt{x}, g(x) = \frac{x}{x-1};$

4) $f(x) = \frac{1}{x}, g(x) = 2x^2 - 3x + 1.$

1) Даны функции $f(x) = \sin x$ и $g(x) = x^2 - 1$.
Чтобы найти сложную функцию $y = f(g(x))$, нужно подставить выражение для $g(x)$ в качестве аргумента в функцию $f(x)$:
$y = f(g(x)) = f(x^2 - 1) = \sin(x^2 - 1)$.
Чтобы найти сложную функцию $y = g(f(x))$, нужно подставить выражение для $f(x)$ в качестве аргумента в функцию $g(x)$:
$y = g(f(x)) = g(\sin x) = (\sin x)^2 - 1 = \sin^2 x - 1$.
Ответ: $y=f(g(x)) = \sin(x^2 - 1)$; $y=g(f(x)) = \sin^2 x - 1$.

2) Даны функции $f(x) = x^4$ и $g(x) = 5x + 2$.
Находим сложную функцию $y = f(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $f(x)$:
$y = f(g(x)) = f(5x+2) = (5x+2)^4$.
Находим сложную функцию $y = g(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $g(x)$:
$y = g(f(x)) = g(x^4) = 5(x^4) + 2 = 5x^4+2$.
Ответ: $y=f(g(x)) = (5x+2)^4$; $y=g(f(x)) = 5x^4+2$.

3) Даны функции $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = \frac{x}{x-1}$.
Находим сложную функцию $y = f(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $f(x)$:
$y = f(g(x)) = f(\frac{x}{x-1}) = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$.
Находим сложную функцию $y = g(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $g(x)$:
$y = g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$.
Ответ: $y=f(g(x)) = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$; $y=g(f(x)) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$.

4) Даны функции $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = 2x^2 - 3x + 1$.
Находим сложную функцию $y = f(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $f(x)$:
$y = f(g(x)) = f(2x^2-3x+1) = \frac{1}{2x^2-3x+1}$.
Находим сложную функцию $y = g(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $g(x)$:
$y = g(f(x)) = g(\frac{1}{x}) = 2(\frac{1}{x})^2 - 3(\frac{1}{x}) + 1 = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x} + 1$.
Ответ: $y=f(g(x)) = \frac{1}{2x^2-3x+1}$; $y=g(f(x)) = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x} + 1$.

39.10. Задайте с помощью формул сложные функции $y=f(g(x))$ и $y=g(f(x))$, если:

1) $f(x)=x^2, g(x)=\operatorname{tg} x$;

2) $f(x)=\sqrt[3]{x}, g(x)=\frac{x+1}{x+2}$.

1)

Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = \operatorname{tg} x$.

Для нахождения сложной функции $y = f(g(x))$ нужно в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$ подставить функцию $g(x)$.

$y = f(g(x)) = (g(x))^2 = (\operatorname{tg} x)^2 = \operatorname{tg}^2 x$.

Для нахождения сложной функции $y = g(f(x))$ нужно в функцию $g(x)$ вместо аргумента $x$ подставить функцию $f(x)$.

$y = g(f(x)) = \operatorname{tg}(f(x)) = \operatorname{tg}(x^2)$.

Ответ: $f(g(x)) = \operatorname{tg}^2 x$; $g(f(x)) = \operatorname{tg}(x^2)$.

2)

Даны функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и $g(x) = \frac{x+1}{x+2}$.

Для нахождения сложной функции $y = f(g(x))$ нужно в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$ подставить функцию $g(x)$.

$y = f(g(x)) = \sqrt[3]{g(x)} = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x+2}}$.

Для нахождения сложной функции $y = g(f(x))$ нужно в функцию $g(x)$ вместо аргумента $x$ подставить функцию $f(x)$.

$y = g(f(x)) = \frac{f(x)+1}{f(x)+2} = \frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x}+2}$.

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x+2}}$; $g(f(x)) = \frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x}+2}$.

39.11. Могут ли две разные функции иметь равные производные? Ответ проиллюстрируйте примерами.

Да, две разные функции могут иметь равные производные. Это происходит в том случае, если эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину (константу).

Это следует из основного свойства производной: производная постоянного числа (константы) равна нулю. Если у нас есть две функции $f(x)$ и $g(x)$, такие что $g(x) = f(x) + C$, где $C$ — любая константа, то их производные будут равны.

Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (f(x) + C)' = f'(x) + (C)' = f'(x) + 0 = f'(x)$

Таким образом, $g'(x) = f'(x)$, хотя функции $f(x)$ и $g(x)$ различны (при $C \neq 0$). Геометрически это означает, что графики таких функций являются копиями друг друга, сдвинутыми по вертикали, и касательные к их графикам в точках с одинаковой абсциссой имеют одинаковый угол наклона.

Рассмотрим первый пример. Возьмем две квадратичные функции: $f(x) = x^2 + 5$ и $g(x) = x^2 - 10$.
Эти функции различны, но их производные одинаковы:
$f'(x) = (x^2 + 5)' = 2x$
$g'(x) = (x^2 - 10)' = 2x$

Рассмотрим второй пример с тригонометрическими функциями: $f(x) = \sin(x)$ и $g(x) = \sin(x) + 2$.
Эти функции также различны, но их производные равны:
$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$
$g'(x) = (\sin(x) + 2)' = \cos(x)$

Ответ: Да, могут. Любые две функции, отличающиеся на константу, имеют равные производные. Например, функции $f(x) = x^3 + 1$ и $g(x) = x^3 - 8$ — разные, но их производные равны $3x^2$.

39.12. Найдите производную функции:

1) $y = (2x + 3)^5$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}x - 6\right)^{18}$;

3) $y = \cos 2x$;

4) $y = \sin^2x$;

5) $y = 3\operatorname{ctg}\frac{x}{5}$;

6) $y = \sqrt{2x + 1}$;

7) $y = \sqrt[3]{1 - x}$;

8) $y = \sqrt{x^2 + 1}$;

9) $y = \frac{1}{4x + 5}$;

10) $y = \left(\frac{x^2}{2} + 4x - 1\right)^{-6}$;

11) $y = \sqrt{\sin x}$;

12) $y = \sin\sqrt{x}$.

39.13. Найдите производную функции:

1) $y = (3x - 5)^6$;

2) $y = \sin \frac{x}{3}$;

3) $y = \cos^2 x$;

4) $y = 2 \operatorname{tg} 4x$;

5) $y = \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$;

6) $y = \sqrt{1 - x^2}$;

7) $y = \sqrt[4]{6x + 8}$;

8) $y = (9x - 2)^{-3}$;

9) $y = \sqrt{\cos x}$.

1) Для нахождения производной функции $y = (3x - 5)^6$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Пусть $u = 3x - 5$, тогда $y = u^6$.
Производная $y$ по $x$ равна произведению производной $y$ по $u$ и производной $u$ по $x$:
$y' = (u^6)'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^6)'_u = 6u^{6-1} = 6u^5 = 6(3x - 5)^5$
$u'_x = (3x - 5)' = 3$
Перемножаем результаты:
$y' = 6(3x - 5)^5 \cdot 3 = 18(3x - 5)^5$
Ответ: $y' = 18(3x - 5)^5$

2) Для нахождения производной функции $y = \sin(\frac{x}{3})$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = \frac{x}{3}$, тогда $y = \sin(u)$.
$y' = (\sin(u))'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(\sin(u))'_u = \cos(u) = \cos(\frac{x}{3})$
$u'_x = (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$
Перемножаем результаты:
$y' = \cos(\frac{x}{3}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})$
Ответ: $y' = \frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})$

3) Для нахождения производной функции $y = \cos^2(x)$ представим ее в виде $y = (\cos x)^2$ и используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = \cos x$, тогда $y = u^2$.
$y' = (u^2)'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^2)'_u = 2u = 2\cos x$
$u'_x = (\cos x)' = -\sin x$
Перемножаем результаты:
$y' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$
Используя формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:
$y' = -\sin(2x)$
Ответ: $y' = -\sin(2x)$

4) Для нахождения производной функции $y = 2\tg(4x)$ используем правило дифференцирования сложной функции и правило вынесения константы.
$y' = 2 \cdot (\tg(4x))'$
Пусть $u = 4x$, тогда нам нужно найти производную от $\tg(u)$.
$(\tg(4x))' = (\tg(u))'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(\tg(u))'_u = \frac{1}{\cos^2(u)} = \frac{1}{\cos^2(4x)}$
$u'_x = (4x)' = 4$
Перемножаем результаты:
$(\tg(4x))' = \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = \frac{4}{\cos^2(4x)}$
Теперь умножаем на константу 2:
$y' = 2 \cdot \frac{4}{\cos^2(4x)} = \frac{8}{\cos^2(4x)}$
Ответ: $y' = \frac{8}{\cos^2(4x)}$

5) Для нахождения производной функции $y = \cos(\frac{\pi}{4} - x)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = \frac{\pi}{4} - x$, тогда $y = \cos(u)$.
$y' = (\cos(u))'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(\cos(u))'_u = -\sin(u) = -\sin(\frac{\pi}{4} - x)$
$u'_x = (\frac{\pi}{4} - x)' = 0 - 1 = -1$
Перемножаем результаты:
$y' = -\sin(\frac{\pi}{4} - x) \cdot (-1) = \sin(\frac{\pi}{4} - x)$
Ответ: $y' = \sin(\frac{\pi}{4} - x)$

6) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1 - x^2}$ представим ее в виде $y = (1 - x^2)^{1/2}$ и используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = 1 - x^2$, тогда $y = u^{1/2}$.
$y' = (u^{1/2})'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^{1/2})'_u = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}}$
$u'_x = (1 - x^2)' = -2x$
Перемножаем результаты:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
Ответ: $y' = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

7) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[4]{6x + 8}$ представим ее в виде $y = (6x + 8)^{1/4}$ и используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = 6x + 8$, тогда $y = u^{1/4}$.
$y' = (u^{1/4})'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^{1/4})'_u = \frac{1}{4}u^{-3/4} = \frac{1}{4(6x + 8)^{3/4}}$
$u'_x = (6x + 8)' = 6$
Перемножаем результаты:
$y' = \frac{1}{4(6x + 8)^{3/4}} \cdot 6 = \frac{6}{4(6x + 8)^{3/4}} = \frac{3}{2(6x + 8)^{3/4}}$
Результат можно также записать в виде: $y' = \frac{3}{2\sqrt[4]{(6x + 8)^3}}$
Ответ: $y' = \frac{3}{2\sqrt[4]{(6x + 8)^3}}$

8) Для нахождения производной функции $y = (9x - 2)^{-3}$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = 9x - 2$, тогда $y = u^{-3}$.
$y' = (u^{-3})'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^{-3})'_u = -3u^{-4} = -3(9x - 2)^{-4}$
$u'_x = (9x - 2)' = 9$
Перемножаем результаты:
$y' = -3(9x - 2)^{-4} \cdot 9 = -27(9x - 2)^{-4}$
Результат можно также записать в виде: $y' = -\frac{27}{(9x - 2)^4}$
Ответ: $y' = -27(9x - 2)^{-4}$

9) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{\cos x}$ представим ее в виде $y = (\cos x)^{1/2}$ и используем правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = \cos x$, тогда $y = u^{1/2}$.
$y' = (u^{1/2})'_u \cdot u'_x$
Находим производные:
$(u^{1/2})'_u = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}}$
$u'_x = (\cos x)' = -\sin x$
Перемножаем результаты:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$
Ответ: $y' = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$

39.14. Найдите производную функции:

1) $y = x\sqrt{2x + 1};$

2) $y = \sin x \cos 2x;$

3) $y = \operatorname{tg} x \sin (2x + 5);$

4) $y = \frac{\cos 3x}{x - 1};$

5) $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}};$

6) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}.$

1) Для функции $y = x\sqrt{2x+1}$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{2x+1}$. Находим их производные. Производная $u'(x) = (x)' = 1$. Для нахождения производной $v(x)$ используем правило производной сложной функции: $v'(x) = (\sqrt{2x+1})' = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$. Теперь подставляем все в формулу производной произведения: $y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{2x+1} + x \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = \sqrt{2x+1} + \frac{x}{\sqrt{2x+1}}$. Приведем выражение к общему знаменателю: $y' = \frac{(\sqrt{2x+1})^2 + x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{2x+1+x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}$. Ответ: $y' = \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}$.

2) Для функции $y = \sin x \cos 2x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \cos 2x$. Находим их производные: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$. Производную $v(x)$ находим как производную сложной функции: $v'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$. Подставляем в формулу производной произведения: $y' = u'v + uv' = \cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot (-2\sin 2x) = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x$. Ответ: $y' = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x$.

3) Для функции $y = \tg x \sin(2x+5)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = \tg x$ и $v(x) = \sin(2x+5)$. Находим их производные: $u'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Производную $v(x)$ находим как производную сложной функции: $v'(x) = (\sin(2x+5))' = \cos(2x+5) \cdot (2x+5)' = 2\cos(2x+5)$. Подставляем в формулу производной произведения: $y' = u'v + uv' = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \sin(2x+5) + \tg x \cdot 2\cos(2x+5) = \frac{\sin(2x+5)}{\cos^2 x} + 2\tg x \cos(2x+5)$. Ответ: $y' = \frac{\sin(2x+5)}{\cos^2 x} + 2\tg x \cos(2x+5)$.

4) Для функции $y = \frac{\cos 3x}{x-1}$ используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = \cos 3x$ и $v(x) = x-1$. Находим их производные. Для $u(x)$ используем правило производной сложной функции: $u'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin 3x$. $v'(x) = (x-1)' = 1$. Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{-3\sin 3x \cdot (x-1) - \cos 3x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-3(x-1)\sin 3x - \cos 3x}{(x-1)^2}$. Ответ: $y' = \frac{-3(x-1)\sin 3x - \cos 3x}{(x-1)^2}$.

5) Для функции $y = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = \sqrt{x}-1$ и $v(x) = \sqrt{x}+1$. Находим их производные: $u'(x) = (\sqrt{x}-1)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. $v'(x) = (\sqrt{x}+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}$. Выносим общий множитель $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ в числителе: $y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} ((\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1))}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} (\sqrt{x}+1 - \sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}$. Упрощаем выражение: $y' = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$. Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$.

6) Для функции $y = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = \sqrt{x^2+1}$ и $v(x) = x$. Находим их производные. Для $u(x)$ используем правило производной сложной функции: $u'(x) = (\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. $v'(x) = (x)' = 1$. Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot x - \sqrt{x^2+1} \cdot 1}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+1}}{x^2}$. Приведем числитель к общему знаменателю: $\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+1} = \frac{x^2 - (\sqrt{x^2+1})^2}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x^2 - (x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}$. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $y' = \frac{\frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2} = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$. Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$.

39.15. Найдите производную функции:

1) $y = x\sqrt{x + 3};$

2) $y = \sin 2x \cos x;$

3) $y = (x + 2)^5(x - 3)^4.$

1) Для функции $y = x\sqrt{x+3}$ необходимо найти производную, используя правило производной произведения функций $(uv)' = u'v + uv'$. В данном случае, пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{x+3}$.

Сначала найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (x)' = 1$

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило производной сложной функции. Представим $v(x)$ как $(x+3)^{1/2}$:

$v'(x) = (\sqrt{x+3})' = ((x+3)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x+3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+3)' = \frac{1}{2}(x+3)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x+3} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} = \sqrt{x+3} + \frac{x}{2\sqrt{x+3}}$

Чтобы упростить выражение, приведем слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{x+3}$:

$y' = \frac{\sqrt{x+3} \cdot 2\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x+3}} + \frac{x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{2(x+3) + x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{2x + 6 + x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$

В числителе можно вынести общий множитель 3:

$y' = \frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}$

Ответ: $y' = \frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}$

2) Для нахождения производной функции $y = \sin 2x \cos x$ удобнее сначала упростить саму функцию, используя тригонометрическую формулу произведения синуса на косинус: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 2x$ и $\beta = x$:

$y = \frac{1}{2}(\sin(2x+x) + \sin(2x-x)) = \frac{1}{2}(\sin(3x) + \sin x)$

Теперь найти производную от полученной суммы функций значительно проще:

$y' = \left(\frac{1}{2}(\sin(3x) + \sin x)\right)' = \frac{1}{2}(\sin(3x) + \sin x)'$

Используя правило дифференцирования суммы и производной сложной функции, получаем:

$y' = \frac{1}{2}((\sin(3x))' + (\sin x)') = \frac{1}{2}(\cos(3x) \cdot (3x)' + \cos x) = \frac{1}{2}(3\cos(3x) + \cos x)$

Раскрыв скобки, получаем окончательный ответ:

$y' = \frac{3}{2}\cos(3x) + \frac{1}{2}\cos x$

Ответ: $y' = \frac{3}{2}\cos(3x) + \frac{1}{2}\cos x$

3) Для функции $y = (x+2)^5(x-3)^4$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u(x)=(x+2)^5$ и $v(x)=(x-3)^4$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$, используя правило производной степенной функции для сложных функций:

$u'(x) = ((x+2)^5)' = 5(x+2)^{5-1} \cdot (x+2)' = 5(x+2)^4 \cdot 1 = 5(x+2)^4$

$v'(x) = ((x-3)^4)' = 4(x-3)^{4-1} \cdot (x-3)' = 4(x-3)^3 \cdot 1 = 4(x-3)^3$

Подставим эти производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 5(x+2)^4(x-3)^4 + (x+2)^5 \cdot 4(x-3)^3$

Для упрощения полученного выражения вынесем за скобки общие множители $(x+2)^4$ и $(x-3)^3$:

$y' = (x+2)^4(x-3)^3 [5(x-3) + 4(x+2)]

Теперь упростим выражение в квадратных скобках:

$5(x-3) + 4(x+2) = 5x - 15 + 4x + 8 = 9x - 7$

Таким образом, окончательное выражение для производной имеет вид:

$y' = (x+2)^4(x-3)^3(9x - 7)$

Ответ: $y' = (x+2)^4(x-3)^3(9x - 7)$

39.16. Найдите производную функции:

1) $y = \cos^3 2x$;

2) $y = \sqrt{\sin\left(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4}\right)}$;

3) $y = \left(\sin\frac{x}{3} - 5\right)^6$.

1) Дана функция $y = \cos^3 2x$.

Эта функция является сложной, поэтому для нахождения её производной необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Функцию можно представить как $y = u^3$, где $u = \cos(2x)$.

Согласно цепному правилу, $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

1. Находим производную внешней функции $u^3$ по $u$:
$(u^3)' = 3u^2$. Подставляя обратно $u = \cos(2x)$, получаем $3\cos^2(2x)$.

2. Находим производную внутренней функции $u = \cos(2x)$ по $x$. Это также сложная функция, где внутренняя часть - $2x$.
$(\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.

3. Перемножаем результаты, чтобы найти производную исходной функции:
$y' = 3\cos^2(2x) \cdot (-2\sin(2x))$.

4. Упрощаем выражение:
$y' = -6\cos^2(2x)\sin(2x)$.

Ответ: $y' = -6\cos^2(2x)\sin(2x)$.

2) Дана функция $y = \sqrt{\sin(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}$.

Это сложная функция. Представим её в виде $y = u^{1/2}$, где $u = \sin(v)$, а $v = \frac{x}{5} - \frac{\pi}{4}$. Будем использовать цепное правило $y'_x = y'_u \cdot u'_v \cdot v'_x$.

1. Производная внешней функции $y = u^{1/2}$ по $u$:
$y'_u = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\sin(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}}$.

2. Производная средней функции $u = \sin(v)$ по $v$:
$u'_v = \cos(v) = \cos(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})$.

3. Производная внутренней функции $v = \frac{x}{5} - \frac{\pi}{4}$ по $x$:
$v'_x = (\frac{1}{5}x - \frac{\pi}{4})' = \frac{1}{5}$.

4. Перемножаем все найденные производные:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}} \cdot \cos(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{1}{5}$.

5. Запишем итоговое выражение в виде одной дроби:
$y' = \frac{\cos(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}{10\sqrt{\sin(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}}$.

Ответ: $y' = \frac{\cos(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}{10\sqrt{\sin(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}}$.

3) Дана функция $y = (\sin\frac{x}{3} - 5)^6$.

Это сложная функция вида $y=u^6$, где $u = \sin\frac{x}{3} - 5$. Применим цепное правило.

1. Производная внешней функции $y = u^6$ по $u$:
$(u^6)' = 6u^5 = 6(\sin\frac{x}{3} - 5)^5$.

2. Производная внутренней функции $u = \sin\frac{x}{3} - 5$ по $x$. Используем правило дифференцирования разности:
$u' = (\sin\frac{x}{3} - 5)' = (\sin\frac{x}{3})' - (5)'$.

Производная константы $(5)' = 0$.
Для нахождения производной $(\sin\frac{x}{3})'$ снова применяем цепное правило:
$(\sin\frac{x}{3})' = \cos(\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})' = \cos(\frac{x}{3}) \cdot \frac{1}{3}$.
Таким образом, $u' = \frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}$.

3. Перемножаем производные внешней и внутренней функций:
$y' = 6(\sin\frac{x}{3} - 5)^5 \cdot \frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}$.

4. Упрощаем выражение:
$y' = \frac{6}{3}(\sin\frac{x}{3} - 5)^5 \cos\frac{x}{3} = 2(\sin\frac{x}{3} - 5)^5 \cos\frac{x}{3}$.

Ответ: $y' = 2\cos\frac{x}{3} (\sin\frac{x}{3} - 5)^5$.

39.17. Вычислите:

1) $f'(0)$, если $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}$;

2) $f'(0)$, если $f(x) = (\cos 3x + 6)^3$.

1)Дана функция $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}$. Чтобы найти производную $f'(x)$, мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и правило дифференцирования частного. Представим функцию в виде $f(x) = (u(x))^{1/2}$, где $u(x) = \frac{x-1}{2x-1}$. Производная $f'(x)$ равна:$f'(x) = \frac{1}{2}(u(x))^{-1/2} \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$. Найдем производную $u'(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{g}{h})' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$:$u'(x) = \frac{(x-1)'(2x-1) - (x-1)(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{1 \cdot (2x-1) - (x-1) \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{2x-1-2x+2}{(2x-1)^2} = \frac{1}{(2x-1)^2}$. Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для $f'(x)$:$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}} \cdot \frac{1}{(2x-1)^2}$. Вычислим значение производной в точке $x=0$:$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{0-1}{2 \cdot 0 - 1}}} \cdot \frac{1}{(2 \cdot 0 - 1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{-1}{-1}}} \cdot \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $f'(0) = \frac{1}{2}$.

2)Дана функция $f(x) = (\cos 3x + 6)^3$. Это сложная функция. Для нахождения ее производной воспользуемся цепным правилом. Пусть внешняя функция $g(u) = u^3$, а внутренняя функция $u(x) = \cos 3x + 6$. Тогда производная $f'(x)$ находится по формуле $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.$f'(x) = 3(u(x))^2 \cdot u'(x) = 3(\cos 3x + 6)^2 \cdot (\cos 3x + 6)'$. Найдем производную внутренней функции $u'(x) = (\cos 3x + 6)'$. Производная от константы 6 равна 0. Производная от $\cos 3x$ также находится по цепному правилу: $(\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$. Таким образом, $u'(x) = -3\sin(3x)$. Подставим $u'(x)$ в выражение для $f'(x)$:$f'(x) = 3(\cos 3x + 6)^2 \cdot (-3\sin(3x)) = -9(\cos 3x + 6)^2 \sin(3x)$. Теперь вычислим значение производной в точке $x=0$:$f'(0) = -9(\cos(3 \cdot 0) + 6)^2 \sin(3 \cdot 0) = -9(\cos(0) + 6)^2 \sin(0)$. Так как $\cos(0) = 1$ и $\sin(0) = 0$, получаем:$f'(0) = -9(1+6)^2 \cdot 0 = -9 \cdot 7^2 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $f'(0) = 0$.