Страница 304 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.30. Функции $f$ и $g$ определены на $\mathbf{R}$. Что можно утверждать о дифференцируемости функции $y = f(x)g(x)$ в точке $x_0$, если:

1) $f$ дифференцируема в точке $x_0$, а $g$ — нет;

2) $f$ и $g$ не дифференцируемы в точке $x_0$?

1) f дифференцируема в точке x₀, а g — нет;

В общем случае, о дифференцируемости функции $y(x) = f(x)g(x)$ в точке $x_0$ ничего определенного утверждать нельзя. Она может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой. Результат зависит от значения функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $f(x_0) \neq 0$

В этом случае функция $y(x) = f(x)g(x)$ не является дифференцируемой в точке $x_0$.

Докажем это от противного. Предположим, что функция $y(x) = f(x)g(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Поскольку функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и $f(x_0) \neq 0$, то в некоторой окрестности точки $x_0$ функция $f(x)$ также не равна нулю. Тогда мы можем выразить функцию $g(x)$ как частное двух функций: $g(x) = \frac{y(x)}{f(x)}$.

По нашему предположению, $y(x)$ дифференцируема в $x_0$. По условию, $f(x)$ дифференцируема в $x_0$. Согласно правилу дифференцирования частного, функция $g(x)$ должна быть дифференцируема в точке $x_0$. Однако это противоречит условию задачи, по которому $g(x)$ не дифференцируема в $x_0$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и функция $y(x)$ не может быть дифференцируемой в точке $x_0$.

Случай 2: $f(x_0) = 0$

В этом случае функция $y(x) = f(x)g(x)$ может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой в точке $x_0$. Приведем примеры для обеих ситуаций.

Пример, когда произведение дифференцируемо:

Пусть $x_0 = 0$, $f(x) = x$ и $g(x) = |x|$.
Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0=0$ ($f'(x)=1$) и $f(0)=0$.
Функция $g(x)$ не дифференцируема в точке $x_0=0$.
Их произведение $y(x) = f(x)g(x) = x|x|$. Найдем производную этой функции в точке $x_0=0$ по определению:$y'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(0 + \Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x |\Delta x| - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0.$
Предел существует и конечен, следовательно, функция $y(x)$ дифференцируема в точке $x_0 = 0$.

Пример, когда произведение недифференцируемо:

Пусть $x_0 = 0$, $f(x) = x$, а $g(x)$ — функция Хевисайда: $g(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \ge 0 \end{cases}$.
Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0=0$ и $f(0)=0$.
Функция $g(x)$ не дифференцируема в точке $x_0=0$ (в этой точке у нее разрыв).
Их произведение $y(x) = f(x)g(x) = x \cdot g(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases}$.
Найдем левую и правую производные в точке $x_0=0$:
Производная слева: $y'_{-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{y(\Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{0 - 0}{\Delta x} = 0.$
Производная справа: $y'_{+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{y(\Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta x - 0}{\Delta x} = 1.$
Так как левая и правая производные не равны ($0 \neq 1$), функция $y(x)$ не является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$.

Ответ: Функция $y=f(x)g(x)$ может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой в точке $x_0$. Если $f(x_0) \neq 0$, то функция $y(x)$ не является дифференцируемой в точке $x_0$. Если $f(x_0) = 0$, то возможны оба случая.

2) f и g не дифференцируемы в точке x₀?

В этом случае, как и в предыдущем, ничего определенного утверждать нельзя. Произведение двух недифференцируемых в точке функций может быть как дифференцируемым, так и недифференцируемым в этой точке. Рассмотрим примеры.

Пример, когда произведение дифференцируемо:

Пусть $x_0 = 0$, $f(x) = |x|$ и $g(x) = |x|$.
Обе функции не являются дифференцируемыми в точке $x_0=0$.
Их произведение $y(x) = f(x)g(x) = |x| \cdot |x| = x^2$.
Функция $y(x)=x^2$ дифференцируема всюду, в том числе и в точке $x_0 = 0$, где ее производная $y'(0) = 0$.

Другой пример: пусть $f(x)$ — функция Хевисайда, а $g(x) = 1 - f(x)$. Обе функции недифференцируемы в $x_0=0$. Их произведение:$y(x) = f(x)(1-f(x))$.
Если $x<0$, то $f(x)=0$, и $y(x) = 0(1-0) = 0$.
Если $x\ge0$, то $f(x)=1$, и $y(x) = 1(1-1) = 0$.
Таким образом, $y(x) = 0$ для всех $x$. Эта функция является константой и дифференцируема везде.

Пример, когда произведение недифференцируемо:

Пусть $x_0 = 0$, $f(x) = |x|$ и $g(x) = |x|+1$.
Обе функции не являются дифференцируемыми в точке $x_0=0$.
Их произведение $y(x) = f(x)g(x) = |x|(|x|+1) = x^2 + |x|$.
Найдем производную этой функции в точке $x_0=0$ по определению:$y'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(\Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^2 + |\Delta x| - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\Delta x + \frac{|\Delta x|}{\Delta x}\right).$
Предел от $\frac{|\Delta x|}{\Delta x}$ при $\Delta x \to 0$ не существует (он равен $1$ справа и $-1$ слева). Следовательно, и весь предел не существует, а значит функция $y(x)$ не является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$.

Ответ: Функция $y=f(x)g(x)$ может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой в точке $x_0$.

39.31. Вычислите сумму $S = 100 \cdot 3^{99} + 98 \cdot 3^{97} + 96 \cdot 3^{95} + \ldots + 2 \cdot 3.$

Обозначим данную сумму через $S$:

$S = 100 \cdot 3^{99} + 98 \cdot 3^{97} + 96 \cdot 3^{95} + \dots + 2 \cdot 3$.

Умножим обе части этого равенства на $3^2 = 9$:

$9S = 100 \cdot 3^{101} + 98 \cdot 3^{99} + 96 \cdot 3^{97} + \dots + 2 \cdot 3^3$.

Теперь вычтем из второго равенства первое:

$9S - S = (100 \cdot 3^{101} + 98 \cdot 3^{99} + 96 \cdot 3^{97} + \dots + 2 \cdot 3^3) - (100 \cdot 3^{99} + 98 \cdot 3^{97} + \dots + 2 \cdot 3)$.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями тройки:

$8S = 100 \cdot 3^{101} + (98-100) \cdot 3^{99} + (96-98) \cdot 3^{97} + \dots + (4-6) \cdot 3^3 + (2-4) \cdot 3^1 - 2\cdot3$.

Нет, это неверно, последний член $2 \cdot 3$ из $S$ не имеет соответствующего члена в $9S$ для вычитания. Правильное вычитание выглядит так:

$8S = 100 \cdot 3^{101} + (98-100) \cdot 3^{99} + (96-98) \cdot 3^{97} + \dots + (2-4) \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^1$.

$8S = 100 \cdot 3^{101} - 2 \cdot 3^{99} - 2 \cdot 3^{97} - \dots - 2 \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^1$.

Вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$8S = 100 \cdot 3^{101} - 2(3^{99} + 3^{97} + \dots + 3^3 + 3^1)$.

В скобках находится сумма $S_g$ членов конечной геометрической прогрессии. Найдем параметры этой прогрессии:

Первый член $b_1 = 3$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{3^3}{3^1} = 3^2 = 9$.

Чтобы найти количество членов $n$, рассмотрим последовательность нечетных степеней: $1, 3, 5, \dots, 99$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=1$ и разностью $d=2$. Найдем номер $n$ для члена $a_n=99$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$99 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$98 = 2(n-1)$

$n-1 = 49$

$n = 50$.

Таким образом, в сумме 50 членов. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

$S_g = \frac{3(9^{50} - 1)}{9-1} = \frac{3(9^{50} - 1)}{8}$.

Подставим найденную сумму $S_g$ обратно в выражение для $8S$:

$8S = 100 \cdot 3^{101} - 2 \cdot \frac{3(9^{50} - 1)}{8} = 100 \cdot 3^{101} - \frac{3(9^{50} - 1)}{4}$.

Умножим обе части равенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$32S = 4 \cdot 100 \cdot 3^{101} - 3(9^{50} - 1) = 400 \cdot 3^{101} - 3(9^{50} - 1)$.

Заменим $9^{50} = (3^2)^{50} = 3^{100}$:

$32S = 400 \cdot 3^{101} - 3(3^{100} - 1) = 400 \cdot 3^{101} - 3 \cdot 3^{100} + 3$.

Так как $3 \cdot 3^{100} = 3^{101}$, получаем:

$32S = 400 \cdot 3^{101} - 3^{101} + 3$.

$32S = (400 - 1) \cdot 3^{101} + 3 = 399 \cdot 3^{101} + 3$.

Наконец, выразим S:

$S = \frac{399 \cdot 3^{101} + 3}{32}$.

Это выражение можно также представить в виде $S = \frac{133 \cdot 3 \cdot 3^{101} + 3}{32} = \frac{133 \cdot 3^{102} + 3}{32}$.

Ответ: $S = \frac{399 \cdot 3^{101} + 3}{32}$.

39.32. Вычислите сумму $S = 4^{30} - 2 \cdot 4^{29} + 3 \cdot 4^{28} - \dots + 29 \cdot 4^2 - 30 \cdot 4$.

Для вычисления данной суммы $S$ воспользуемся методом, основанным на свойствах арифметико-геометрических прогрессий. Запишем исходную сумму:

$S = 4^{30} - 2 \cdot 4^{29} + 3 \cdot 4^{28} - \dots + 29 \cdot 4^2 - 30 \cdot 4$

Умножим обе части этого равенства на 4:

$4S = 4 \cdot (4^{30} - 2 \cdot 4^{29} + 3 \cdot 4^{28} - \dots - 30 \cdot 4)$

$4S = 4^{31} - 2 \cdot 4^{30} + 3 \cdot 4^{29} - \dots - 30 \cdot 4^2$

Теперь сложим исходное выражение для $S$ и полученное выражение для $4S$. Для наглядности сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями числа 4:

$S + 4S = (4^{30} - 2 \cdot 4^{29} + 3 \cdot 4^{28} - \dots) + (4^{31} - 2 \cdot 4^{30} + 3 \cdot 4^{29} - \dots)$

$5S = 4^{31} + (1-2) \cdot 4^{30} + (-2+3) \cdot 4^{29} + (3-4) \cdot 4^{28} + \dots + (29-30) \cdot 4^2 - 30 \cdot 4$

Упростим коэффициенты в скобках:

$5S = 4^{31} - 1 \cdot 4^{30} + 1 \cdot 4^{29} - 1 \cdot 4^{28} + \dots - 1 \cdot 4^2 - 30 \cdot 4$

$5S = 4^{31} - 4^{30} + 4^{29} - 4^{28} + \dots - 4^2 - 120$

Часть полученного выражения, а именно $4^{31} - 4^{30} + 4^{29} - \dots - 4^2$, представляет собой сумму конечной геометрической прогрессии. Найдем эту сумму. Перепишем ее, начиная с меньшей степени:

$-4^2 + 4^3 - 4^4 + \dots - 4^{30} + 4^{31}$

Это геометрическая прогрессия, у которой:

• первый член $b_1 = -4^2 = -16$
• знаменатель $q = \frac{4^3}{-4^2} = -4$
• число членов $n = 31 - 2 + 1 = 30$

Сумма $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$. Подставим наши значения:

$S_{30} = \frac{-16 \cdot ((-4)^{30} - 1)}{-4 - 1} = \frac{-16 \cdot (4^{30} - 1)}{-5} = \frac{16(4^{30} - 1)}{5}$

Теперь подставим найденную сумму обратно в выражение для $5S$:

$5S = \frac{16(4^{30} - 1)}{5} - 120$

Приведем к общему знаменателю:

$5S = \frac{16 \cdot 4^{30} - 16}{5} - \frac{120 \cdot 5}{5}$

$5S = \frac{16 \cdot 4^{30} - 16 - 600}{5}$

$5S = \frac{16 \cdot 4^{30} - 616}{5}$

Чтобы найти $S$, разделим обе части на 5:

$S = \frac{16 \cdot 4^{30} - 616}{25}$

Упростим числитель, заметив, что $16 = 4^2$:

$S = \frac{4^2 \cdot 4^{30} - 616}{25} = \frac{4^{32} - 616}{25}$

Ответ: $S = \frac{4^{32} - 616}{25}$.