Номер 39.31, страница 304 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.31. Вычислите сумму $S = 100 \cdot 3^{99} + 98 \cdot 3^{97} + 96 \cdot 3^{95} + \ldots + 2 \cdot 3.$

Обозначим данную сумму через $S$:

$S = 100 \cdot 3^{99} + 98 \cdot 3^{97} + 96 \cdot 3^{95} + \dots + 2 \cdot 3$.

Умножим обе части этого равенства на $3^2 = 9$:

$9S = 100 \cdot 3^{101} + 98 \cdot 3^{99} + 96 \cdot 3^{97} + \dots + 2 \cdot 3^3$.

Теперь вычтем из второго равенства первое:

$9S - S = (100 \cdot 3^{101} + 98 \cdot 3^{99} + 96 \cdot 3^{97} + \dots + 2 \cdot 3^3) - (100 \cdot 3^{99} + 98 \cdot 3^{97} + \dots + 2 \cdot 3)$.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями тройки:

$8S = 100 \cdot 3^{101} + (98-100) \cdot 3^{99} + (96-98) \cdot 3^{97} + \dots + (4-6) \cdot 3^3 + (2-4) \cdot 3^1 - 2\cdot3$.

Нет, это неверно, последний член $2 \cdot 3$ из $S$ не имеет соответствующего члена в $9S$ для вычитания. Правильное вычитание выглядит так:

$8S = 100 \cdot 3^{101} + (98-100) \cdot 3^{99} + (96-98) \cdot 3^{97} + \dots + (2-4) \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^1$.

$8S = 100 \cdot 3^{101} - 2 \cdot 3^{99} - 2 \cdot 3^{97} - \dots - 2 \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^1$.

Вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$8S = 100 \cdot 3^{101} - 2(3^{99} + 3^{97} + \dots + 3^3 + 3^1)$.

В скобках находится сумма $S_g$ членов конечной геометрической прогрессии. Найдем параметры этой прогрессии:

Первый член $b_1 = 3$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{3^3}{3^1} = 3^2 = 9$.

Чтобы найти количество членов $n$, рассмотрим последовательность нечетных степеней: $1, 3, 5, \dots, 99$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=1$ и разностью $d=2$. Найдем номер $n$ для члена $a_n=99$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$99 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$98 = 2(n-1)$

$n-1 = 49$

$n = 50$.

Таким образом, в сумме 50 членов. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

$S_g = \frac{3(9^{50} - 1)}{9-1} = \frac{3(9^{50} - 1)}{8}$.

Подставим найденную сумму $S_g$ обратно в выражение для $8S$:

$8S = 100 \cdot 3^{101} - 2 \cdot \frac{3(9^{50} - 1)}{8} = 100 \cdot 3^{101} - \frac{3(9^{50} - 1)}{4}$.

Умножим обе части равенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$32S = 4 \cdot 100 \cdot 3^{101} - 3(9^{50} - 1) = 400 \cdot 3^{101} - 3(9^{50} - 1)$.

Заменим $9^{50} = (3^2)^{50} = 3^{100}$:

$32S = 400 \cdot 3^{101} - 3(3^{100} - 1) = 400 \cdot 3^{101} - 3 \cdot 3^{100} + 3$.

Так как $3 \cdot 3^{100} = 3^{101}$, получаем:

$32S = 400 \cdot 3^{101} - 3^{101} + 3$.

$32S = (400 - 1) \cdot 3^{101} + 3 = 399 \cdot 3^{101} + 3$.

Наконец, выразим S:

$S = \frac{399 \cdot 3^{101} + 3}{32}$.

Это выражение можно также представить в виде $S = \frac{133 \cdot 3 \cdot 3^{101} + 3}{32} = \frac{133 \cdot 3^{102} + 3}{32}$.

Ответ: $S = \frac{399 \cdot 3^{101} + 3}{32}$.