gdz.top
Номер 40.4, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 40. Уравнение касательной - номер 40.4, страница 306.
№40.3
№40.4 (с. 306)
Условие. №40.4 (с. 306)
40.4. Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат:
1) $f(x) = 2x^3 - 5x + 2;$
2) $f(x) = \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right).$
Решение. №40.4 (с. 306)
Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Точка пересечения графика функции с осью ординат имеет абсциссу $x_0 = 0$.
1) Для функции $f(x) = 2x^3 - 5x + 2$.
1. Находим значение функции в точке касания $x_0 = 0$:
$f(0) = 2 \cdot 0^3 - 5 \cdot 0 + 2 = 2$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^3 - 5x + 2)' = 6x^2 - 5$.
3. Находим значение производной в точке касания, которое равно угловому коэффициенту касательной:
$f'(0) = 6 \cdot 0^2 - 5 = -5$.
4. Подставляем найденные значения $x_0 = 0$, $f(0) = 2$ и $f'(0) = -5$ в уравнение касательной:
$y = 2 + (-5)(x - 0)$
$y = -5x + 2$.
Ответ: $y = -5x + 2$.
2) Для функции $f(x) = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$.
1. Находим значение функции в точке касания $x_0 = 0$:
$f(0) = \sin(3 \cdot 0 - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Находим производную функции как производную сложной функции:
$f'(x) = (\sin(3x - \frac{\pi}{4}))' = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = 3\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.
3. Находим значение производной в точке касания:
$f'(0) = 3\cos(3 \cdot 0 - \frac{\pi}{4}) = 3\cos(-\frac{\pi}{4}) = 3\cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
4. Подставляем найденные значения $x_0 = 0$, $f(0) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $f'(0) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ в уравнение касательной:
$y = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}(x - 0)$
$y = \frac{3\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $y = \frac{3\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 40.4 расположенного на странице 306 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №40.4 (с. 306), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.