Номер 40.9, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.9. Найдите такую точку графика функции $f$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, если:

1) $f(x) = x^2 - 7x + 3$, $\alpha = 45^\circ$;

2) $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2$, $\alpha = 60^\circ$;

3) $f(x) = \sqrt{3x + 2}$, $\alpha = 45^\circ$;

4) $f(x) = \frac{x+7}{x-2}$, $\alpha = 135^\circ$.

Основная идея решения заключается в использовании геометрического смысла производной: значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс. Таким образом, для нахождения абсциссы искомой точки $x_0$ нужно решить уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

1) $f(x) = x^2 - 7x + 3$, $\alpha = 45^\circ$

Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 7x + 3)' = 2x - 7$.

Теперь найдем тангенс заданного угла:
$\tan(45^\circ) = 1$.

Приравняем производную к тангенсу, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$2x_0 - 7 = 1$
$2x_0 = 8$
$x_0 = 4$.

Теперь найдем ординату точки, подставив $x_0 = 4$ в исходную функцию $f(x)$:
$y_0 = f(4) = 4^2 - 7 \cdot 4 + 3 = 16 - 28 + 3 = -9$.

Искомая точка имеет координаты $(4, -9)$.

Ответ: $(4, -9)$.

2) $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2$, $\alpha = 60^\circ$

Найдем производную функции:
$f'(x) = (-3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2)' = -6x + 2\sqrt{3}$.

Найдем тангенс заданного угла:
$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Решим уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$:
$-6x_0 + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$
$-6x_0 = \sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$-6x_0 = -\sqrt{3}$
$x_0 = \frac{-\sqrt{3}}{-6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Найдем ординату точки $y_0 = f(x_0)$:
$y_0 = f(\frac{\sqrt{3}}{6}) = -3(\frac{\sqrt{3}}{6})^2 + 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{6}) - 2$
$y_0 = -3(\frac{3}{36}) + \frac{2 \cdot 3}{6} - 2 = -3 \cdot \frac{1}{12} + 1 - 2 = -\frac{1}{4} - 1 = -\frac{5}{4}$.

Искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{5}{4})$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{5}{4})$.

3) $f(x) = \sqrt{3x + 2}$, $\alpha = 45^\circ$

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sqrt{3x + 2})' = \frac{1}{2\sqrt{3x + 2}} \cdot (3x + 2)' = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}$.

Найдем тангенс заданного угла:
$\tan(45^\circ) = 1$.

Решим уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$:
$\frac{3}{2\sqrt{3x_0 + 2}} = 1$
$3 = 2\sqrt{3x_0 + 2}$
$\sqrt{3x_0 + 2} = \frac{3}{2}$.

Возведем обе части в квадрат:
$3x_0 + 2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$
$3x_0 = \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}$
$x_0 = \frac{1}{12}$.

Найдем ординату точки $y_0 = f(x_0)$:
$y_0 = f(\frac{1}{12}) = \sqrt{3 \cdot \frac{1}{12} + 2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Искомая точка имеет координаты $(\frac{1}{12}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{12}, \frac{3}{2})$.

4) $f(x) = \frac{x + 7}{x - 2}$, $\alpha = 135^\circ$

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \left(\frac{x + 7}{x - 2}\right)' = \frac{(x + 7)'(x - 2) - (x + 7)(x - 2)'}{(x - 2)^2}$
$f'(x) = \frac{1 \cdot (x - 2) - (x + 7) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 - x - 7}{(x - 2)^2} = \frac{-9}{(x - 2)^2}$.

Найдем тангенс заданного угла:
$\tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

Решим уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$:
$\frac{-9}{(x_0 - 2)^2} = -1$
$(x_0 - 2)^2 = 9$.

Это уравнение имеет два решения:
1) $x_0 - 2 = 3 \implies x_1 = 5$
2) $x_0 - 2 = -3 \implies x_2 = -1$.

Найдем ординаты для каждой из найденных абсцисс:
Для $x_1 = 5$:
$y_1 = f(5) = \frac{5 + 7}{5 - 2} = \frac{12}{3} = 4$.
Получаем точку $(5, 4)$.

Для $x_2 = -1$:
$y_2 = f(-1) = \frac{-1 + 7}{-1 - 2} = \frac{6}{-3} = -2$.
Получаем точку $(-1, -2)$.

Существуют две такие точки.

Ответ: $(5, 4)$ и $(-1, -2)$.