Номер 40.15, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.15. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x)=x-\frac{1}{x^2}$, если эта касательная параллельна прямой $y=3x$;

2) $f(x)=2x^3+3x^2-10x-1$, если эта касательная параллельна прямой $y=2x+1$.

1) f(x) = x - 1/x², если эта касательная параллельна прямой y = 3x;

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной функции в точке касания $x_0$, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию, касательная параллельна прямой $y = 3x$. Так как параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, угловой коэффициент касательной должен быть равен 3. Следовательно, $f'(x_0) = 3$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = x - \frac{1}{x^2}$. Для удобства запишем функцию в виде $f(x) = x - x^{-2}$.

$f'(x) = (x - x^{-2})' = 1 - (-2)x^{-3} = 1 + \frac{2}{x^3}$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = 3$:

$1 + \frac{2}{x_0^3} = 3$

$\frac{2}{x_0^3} = 2$

$x_0^3 = 1$

$x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(1) = 1 - \frac{1}{1^2} = 1 - 1 = 0$.

Точка касания имеет координаты $(1, 0)$. Угловой коэффициент касательной $k=3$.

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 3(x - 1)$

$y = 3x - 3$.

Ответ: $y = 3x - 3$.

2) f(x) = 2x³ + 3x² - 10x - 1, если эта касательная параллельна прямой y = 2x + 1.

Касательная параллельна прямой $y = 2x + 1$, следовательно, ее угловой коэффициент $k$ равен угловому коэффициенту этой прямой, то есть $k=2$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f'(x_0)$, поэтому $f'(x_0) = 2$.

Найдем производную функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 10x - 1$:

$f'(x) = (2x^3)' + (3x^2)' - (10x)' - (1)' = 6x^2 + 6x - 10$.

Теперь найдем абсциссы точек касания, решив уравнение $f'(x_0) = 2$:

$6x_0^2 + 6x_0 - 10 = 2$

$6x_0^2 + 6x_0 - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x_0^2 + x_0 - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:

$x_{0,1} = 1$ и $x_{0,2} = -2$.

Так как мы получили два значения для $x_0$, то существуют две касательные, удовлетворяющие условию. Найдем уравнение для каждой из них.

Случай 1: $x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(1)$:

$y_0 = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 10(1) - 1 = 2 + 3 - 10 - 1 = -6$.

Точка касания $(1, -6)$, угловой коэффициент $k=2$.

Составим уравнение касательной:

$y - (-6) = 2(x - 1)$

$y + 6 = 2x - 2$

$y = 2x - 8$.

Случай 2: $x_0 = -2$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(-2)$:

$y_0 = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 10(-2) - 1 = 2(-8) + 3(4) + 20 - 1 = -16 + 12 + 20 - 1 = 15$.

Точка касания $(-2, 15)$, угловой коэффициент $k=2$.

Составим уравнение касательной:

$y - 15 = 2(x - (-2))$

$y - 15 = 2(x + 2)$

$y - 15 = 2x + 4$

$y = 2x + 19$.

Ответ: $y = 2x - 8$ и $y = 2x + 19$.