gdz.top
Номер 40.18, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 40. Уравнение касательной - номер 40.18, страница 308.
№40.17
№40.18 (с. 308)
Условие. №40.18 (с. 308)
40.18. Определите, является ли прямая $y = x$ касательной к графику функции $y = \sin x$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.
Решение. №40.18 (с. 308)
Для того чтобы прямая являлась касательной к графику функции в некоторой точке, необходимо, чтобы в этой точке совпадали как значения функций, так и значения их производных (то есть угловые коэффициенты).
Пусть $x_0$ — абсцисса предполагаемой точки касания.
Заданные функции: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = x$.
Условия касания в точке $x_0$:
1. Равенство значений функций: $f(x_0) = g(x_0) \implies \sin x_0 = x_0$.
2. Равенство значений производных: $f'(x_0) = g'(x_0)$.
Найдем производные функций:
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$
$g'(x) = (x)' = 1$
Тогда второе условие принимает вид: $\cos x_0 = 1$.
Теперь у нас есть система из двух уравнений, которой должна удовлетворять абсцисса $x_0$:
$$ \begin{cases} \sin x_0 = x_0 \\ \cos x_0 = 1 \end{cases} $$
Решим второе уравнение: $\cos x_0 = 1$. Его решениями являются $x_0 = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Подставим найденное значение $x_0$ в первое уравнение системы:
$\sin(2\pi k) = 2\pi k$
Поскольку $\sin(2\pi k) = 0$ для любого целого $k$, уравнение упрощается до:
$0 = 2\pi k$
Это равенство справедливо только при $k = 0$.
Следовательно, единственное возможное значение для абсциссы точки касания — это $x_0 = 2\pi \cdot 0 = 0$.
Проверим, что при $x_0 = 0$ оба условия выполняются:
1. $\sin(0) = 0$. Условие выполнено.
2. $\cos(0) = 1$. Условие выполнено.
Так как оба условия выполнены, прямая $y=x$ является касательной к графику функции $y=\sin x$ в точке с абсциссой $x=0$.
Ответ: Да, является. Абсцисса точки касания равна 0.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 40.18 расположенного на странице 308 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №40.18 (с. 308), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.