Номер 40.14, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.14. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+4.$

Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс, её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Таким образом, для нахождения точек, в которых касательная горизонтальна, необходимо найти значения $x$, для которых производная $f'(x)$ обращается в ноль.

Дана функция: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4$.

1. Найдём производную функции $f(x)$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - (x^2)' - (3x)' + (4)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 3 + 0 = x^2 - 2x - 3$.

2. Найдём абсциссы точек касания.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых угловой коэффициент касательной равен нулю:

$f'(x) = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

Мы нашли абсциссы точек, в которых касательные к графику функции горизонтальны: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

3. Найдём уравнения горизонтальных касательных.

Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это ордината точки касания. Найдём значения функции $f(x)$ в найденных точках $x_1$ и $x_2$.

При $x_1 = 3$:

$y_1 = f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 4 = \frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - 9 + 4 = 9 - 9 - 9 + 4 = -5$.

Следовательно, уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -5$.

При $x_2 = -1$:

$y_2 = f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 4 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 4 = -\frac{1}{3} + 6 = \frac{-1+18}{3} = \frac{17}{3}$.

Следовательно, уравнение второй горизонтальной касательной: $y = \frac{17}{3}$.

Ответ: $y = -5$ и $y = \frac{17}{3}$.