Номер 40.20, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.20. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^3 + x^2 - 6x + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, необходимо последовательно выполнить следующие действия: составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, найти точки пересечения этой касательной с осями координат, а затем рассчитать площадь получившегося прямоугольного треугольника.

Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае дана функция $f(x) = x^3 + x^2 - 6x + 1$ и абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

Сначала найдем значение функции в этой точке:

$f(1) = 1^3 + 1^2 - 6 \cdot 1 + 1 = 1 + 1 - 6 + 1 = -3$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 + x^2 - 6x + 1)' = 3x^2 + 2x - 6$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 6 = 3 + 2 - 6 = -1$.

Подставим найденные значения $f(1) = -3$ и $f'(1) = -1$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = -3 + (-1)(x - 1)$

$y = -3 - x + 1$

$y = -x - 2$.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке $x_0 = 1$ есть $y = -x - 2$.

Нахождение точек пересечения касательной с осями координат

Для нахождения точки пересечения касательной с осью ординат (осью Oy), подставим $x = 0$ в ее уравнение:

$y = -0 - 2 = -2$.

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -2)$.

Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox), подставим $y = 0$ в уравнение касательной:

$0 = -x - 2$

$x = -2$.

Точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-2, 0)$.

Вычисление площади треугольника

Касательная $y = -x - 2$ и оси координат образуют прямоугольный треугольник, вершины которого находятся в точках $(0, 0)$, $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.

Катеты этого треугольника лежат на осях координат, и их длины равны абсолютным значениям координат точек пересечения:

Длина катета, лежащего на оси Ox, равна $|-2| = 2$.

Длина катета, лежащего на оси Oy, равна $|-2| = 2$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения длин его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2.