Страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.17. Определите, является ли прямая $y = 12x - 10$ касательной к графику функции $f(x) = 4x^3$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Для того чтобы прямая $y = 12x - 10$ являлась касательной к графику функции $f(x) = 4x^3$ в некоторой точке с абсциссой $x_0$, должны одновременно выполняться два условия:

1. Производная функции в точке $x_0$ должна быть равна угловому коэффициенту касательной: $f'(x_0) = 12$.
2. Значения функции и прямой в точке $x_0$ должны быть равны: $f(x_0) = 12x_0 - 10$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2$.

Теперь выполним первое условие, чтобы найти возможные абсциссы точек касания:

$f'(x_0) = 12$

$12x_0^2 = 12$

$x_0^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Далее проверим выполнение второго условия для каждого из этих значений.

Проверка для $x_0 = 1$:

Значение функции: $f(1) = 4 \cdot 1^3 = 4$.

Значение на прямой: $y(1) = 12 \cdot 1 - 10 = 2$.

Так как $f(1) \neq y(1)$ (поскольку $4 \neq 2$), то в точке с абсциссой $x=1$ касания нет.

Проверка для $x_0 = -1$:

Значение функции: $f(-1) = 4 \cdot (-1)^3 = -4$.

Значение на прямой: $y(-1) = 12 \cdot (-1) - 10 = -12 - 10 = -22$.

Так как $f(-1) \neq y(-1)$ (поскольку $-4 \neq -22$), то в точке с абсциссой $x=-1$ касания также нет.

Поскольку ни одна из возможных точек касания не удовлетворяет обоим условиям, данная прямая не является касательной к графику функции.

Ответ: прямая не является касательной к графику функции.

40.18. Определите, является ли прямая $y = x$ касательной к графику функции $y = \sin x$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Для того чтобы прямая являлась касательной к графику функции в некоторой точке, необходимо, чтобы в этой точке совпадали как значения функций, так и значения их производных (то есть угловые коэффициенты).

Пусть $x_0$ — абсцисса предполагаемой точки касания.

Заданные функции: $f(x) = \sin x$ и $g(x) = x$.

Условия касания в точке $x_0$:

1. Равенство значений функций: $f(x_0) = g(x_0) \implies \sin x_0 = x_0$.

2. Равенство значений производных: $f'(x_0) = g'(x_0)$.

Найдем производные функций:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$

$g'(x) = (x)' = 1$

Тогда второе условие принимает вид: $\cos x_0 = 1$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений, которой должна удовлетворять абсцисса $x_0$:

$$ \begin{cases} \sin x_0 = x_0 \\ \cos x_0 = 1 \end{cases} $$

Решим второе уравнение: $\cos x_0 = 1$. Его решениями являются $x_0 = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Подставим найденное значение $x_0$ в первое уравнение системы:

$\sin(2\pi k) = 2\pi k$

Поскольку $\sin(2\pi k) = 0$ для любого целого $k$, уравнение упрощается до:

$0 = 2\pi k$

Это равенство справедливо только при $k = 0$.

Следовательно, единственное возможное значение для абсциссы точки касания — это $x_0 = 2\pi \cdot 0 = 0$.

Проверим, что при $x_0 = 0$ оба условия выполняются:

1. $\sin(0) = 0$. Условие выполнено.

2. $\cos(0) = 1$. Условие выполнено.

Так как оба условия выполнены, прямая $y=x$ является касательной к графику функции $y=\sin x$ в точке с абсциссой $x=0$.

Ответ: Да, является. Абсцисса точки касания равна 0.

40.19. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x)=x^2-4$ в точке с абсциссой $x_0=-2$.

Для вычисления площади треугольника, образованного осями координат и касательной, необходимо сначала найти уравнение этой касательной. Треугольник, образованный прямой и осями координат, является прямоугольным, и его площадь можно найти как половину произведения длин катетов. Длины катетов равны модулям отрезков, отсекаемых касательной на осях координат (то есть, модулям ее x- и y-пересечений).

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = -2$

Дана функция $f(x) = x^2 - 4$.
$f(x_0) = f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(-2, 0)$.

2. Найдем производную функции и ее значение в точке касания

Производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$.
Значение производной в точке $x_0 = -2$ (которое равно угловому коэффициенту касательной) составляет:
$f'(x_0) = f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.

3. Составим уравнение касательной

Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = -4$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = 0 + (-4)(x - (-2))$
$y = -4(x + 2)$
$y = -4x - 8$.

4. Найдем точки пересечения касательной с осями координат

Чтобы найти точку пересечения с осью ординат (Oy), подставим $x = 0$ в уравнение касательной:
$y = -4 \cdot 0 - 8 = -8$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$. Длина отрезка, отсекаемого на оси Oy, равна $|-8| = 8$.

Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс (Ox), подставим $y = 0$ в уравнение касательной:
$0 = -4x - 8$
$4x = -8$
$x = -2$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$. Длина отрезка, отсекаемого на оси Ox, равна $|-2| = 2$.

5. Вычислим площадь треугольника

Треугольник является прямоугольным, его катеты равны 2 и 8. Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ - длины катетов.
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$.

Ответ: 8

40.20. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^3 + x^2 - 6x + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, необходимо последовательно выполнить следующие действия: составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, найти точки пересечения этой касательной с осями координат, а затем рассчитать площадь получившегося прямоугольного треугольника.

Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае дана функция $f(x) = x^3 + x^2 - 6x + 1$ и абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

Сначала найдем значение функции в этой точке:

$f(1) = 1^3 + 1^2 - 6 \cdot 1 + 1 = 1 + 1 - 6 + 1 = -3$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 + x^2 - 6x + 1)' = 3x^2 + 2x - 6$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 6 = 3 + 2 - 6 = -1$.

Подставим найденные значения $f(1) = -3$ и $f'(1) = -1$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = -3 + (-1)(x - 1)$

$y = -3 - x + 1$

$y = -x - 2$.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке $x_0 = 1$ есть $y = -x - 2$.

Нахождение точек пересечения касательной с осями координат

Для нахождения точки пересечения касательной с осью ординат (осью Oy), подставим $x = 0$ в ее уравнение:

$y = -0 - 2 = -2$.

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -2)$.

Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (осью Ox), подставим $y = 0$ в уравнение касательной:

$0 = -x - 2$

$x = -2$.

Точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-2, 0)$.

Вычисление площади треугольника

Касательная $y = -x - 2$ и оси координат образуют прямоугольный треугольник, вершины которого находятся в точках $(0, 0)$, $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.

Катеты этого треугольника лежат на осях координат, и их длины равны абсолютным значениям координат точек пересечения:

Длина катета, лежащего на оси Ox, равна $|-2| = 2$.

Длина катета, лежащего на оси Oy, равна $|-2| = 2$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения длин его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2.

40.21. На графике функции $f(x) = -\sqrt{2x+1}$ найдите точку, касательная в которой перпендикулярна прямой $y - 2x + 1 = 0$.

Две прямые (не параллельные осям координат) перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1. Обозначим угловой коэффициент касательной как $k_{кас}$, а угловой коэффициент данной прямой как $k_{пр}$. Условие перпендикулярности: $k_{кас} \cdot k_{пр} = -1$.

1. Найдем угловой коэффициент $k_{пр}$ прямой, заданной уравнением $y - 2x + 1 = 0$. Для этого выразим $y$: $y = 2x - 1$. Это уравнение прямой вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Следовательно, $k_{пр} = 2$.

2. Теперь найдем угловой коэффициент касательной $k_{кас}$, используя условие перпендикулярности: $k_{кас} \cdot 2 = -1$ $k_{кас} = -\frac{1}{2}$.

3. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k_{кас} = f'(x_0)$. Найдем производную функции $f(x) = -\sqrt{2x + 1}$: $f'(x) = (-\sqrt{2x+1})' = -( (2x+1)^{\frac{1}{2}} )' = -\frac{1}{2}(2x+1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (2x+1)' = -\frac{1}{2}(2x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = -(2x+1)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.

4. Приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту касательной, чтобы найти абсциссу $x_0$ искомой точки: $f'(x_0) = -\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{\sqrt{2x_0+1}} = -\frac{1}{2}$ Умножим обе части на -1: $\frac{1}{\sqrt{2x_0+1}} = \frac{1}{2}$ Из равенства дробей следует равенство их знаменателей: $\sqrt{2x_0+1} = 2$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $2x_0+1 = 4$ $2x_0 = 3$ $x_0 = \frac{3}{2}$.

5. Найдем ординату $y_0$ искомой точки, подставив значение $x_0$ в исходную функцию $f(x)$: $y_0 = f(x_0) = f(\frac{3}{2}) = -\sqrt{2 \cdot \frac{3}{2} + 1} = -\sqrt{3+1} = -\sqrt{4} = -2$.

Таким образом, искомая точка на графике функции имеет координаты $(\frac{3}{2}; -2)$.

Ответ: $(\frac{3}{2}; -2)$.

40.22. Существуют ли касательные к графику функции $f(x) = x^3 + 2x - 1$, которые перпендикулярны прямой $y = -x$?

Для того чтобы касательная к графику функции $f(x)$ была перпендикулярна прямой $y$, их угловые коэффициенты $k_{кас}$ и $k_{пр}$ должны удовлетворять условию $k_{кас} \cdot k_{пр} = -1$.

1. Найдём угловой коэффициент $k_{пр}$ данной прямой $y = -x$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, следовательно, $k_{пр} = -1$.

2. Используя условие перпендикулярности, найдём угловой коэффициент касательной $k_{кас}$:$k_{кас} \cdot (-1) = -1$$k_{кас} = 1$

3. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k_{кас} = f'(x_0)$. Найдём производную функции $f(x) = x^3 + 2x - 1$:$f'(x) = (x^3 + 2x - 1)' = 3x^2 + 2$.

4. Теперь необходимо выяснить, существует ли такое значение $x$, при котором производная функции равна 1. Для этого решим уравнение:$f'(x) = 1$$3x^2 + 2 = 1$$3x^2 = 1 - 2$$3x^2 = -1$$x^2 = -\frac{1}{3}$

Полученное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что не существует точки на графике функции $f(x)$, в которой угловой коэффициент касательной был бы равен 1. Следовательно, касательных, перпендикулярных прямой $y = -x$, к графику данной функции не существует.

Ответ: не существуют.

40.23. При каких значениях $b$ и $c$ парабола $y = x^2 + bx + c$ касается прямой $y = 4x + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$?

Для того чтобы парабола $y = x^2 + bx + c$ касалась прямой $y = 4x + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$, должны одновременно выполняться два условия:
1. Значения функций параболы и прямой в точке $x_0 = 1$ должны быть равны.
2. Угловые коэффициенты касательных (значения производных) в этой точке также должны быть равны.

Сначала найдем ординату точки касания, используя уравнение прямой $y = 4x + 1$, так как оно не содержит неизвестных параметров. Подставим $x_0 = 1$:
$y_0 = 4(1) + 1 = 5$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(1, 5)$.

Теперь используем первое условие. Так как точка $(1, 5)$ принадлежит параболе, ее координаты должны удовлетворять уравнению $y = x^2 + bx + c$:
$5 = 1^2 + b \cdot 1 + c$
$5 = 1 + b + c$
Отсюда получаем первое уравнение: $b + c = 4$.

Далее используем второе условие. Угловой коэффициент прямой $y = 4x + 1$ равен 4. Угловой коэффициент касательной к параболе в точке $x$ находится через ее производную.
Пусть $f(x) = x^2 + bx + c$. Тогда ее производная:
$f'(x) = (x^2 + bx + c)' = 2x + b$.
В точке касания $x_0 = 1$ значение производной должно быть равно угловому коэффициенту прямой, то есть 4:
$f'(1) = 2(1) + b = 4$
$2 + b = 4$.

Из последнего уравнения легко найти $b$:
$b = 4 - 2 = 2$.
Подставим найденное значение $b = 2$ в первое уравнение $b + c = 4$:
$2 + c = 4$
$c = 4 - 2 = 2$.

Таким образом, искомые значения параметров: $b=2$ и $c=2$.
Ответ: $b = 2, c = 2$.

40.24. При каких значениях $a$ и $b$ прямая $y = 7x - 2$ касается параболы $y = ax^2 + bx + 1$ в точке $A (1; 5)$?

Для того чтобы прямая $y = 7x - 2$ касалась параболы $y = ax^2 + bx + 1$ в точке $A(1; 5)$, должны одновременно выполняться два условия:

1. Точка касания $A(1; 5)$ должна принадлежать графику параболы.
2. Угловой коэффициент касательной (в данном случае, прямой $y = 7x - 2$) должен быть равен значению производной функции параболы в точке касания.

Рассмотрим первое условие. Подставим координаты точки $A(1; 5)$ в уравнение параболы:
$5 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1$
$5 = a + b + 1$
Отсюда получаем первое уравнение для нахождения $a$ и $b$:
$a + b = 4$

Теперь рассмотрим второе условие. Угловой коэффициент прямой $y = 7x - 2$ равен коэффициенту при $x$, то есть $k=7$.
Найдем производную функции $f(x) = ax^2 + bx + 1$:
$f'(x) = (ax^2 + bx + 1)' = 2ax + b$
Значение производной в точке касания с абсциссой $x_0 = 1$ равно угловому коэффициенту касательной:
$f'(1) = 2a \cdot 1 + b = 7$
Отсюда получаем второе уравнение:
$2a + b = 7$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 4 \\ 2a + b = 7 \end{cases}$
Для решения системы вычтем из второго уравнения первое:
$(2a + b) - (a + b) = 7 - 4$
$a = 3$
Подставим найденное значение $a=3$ в первое уравнение системы:
$3 + b = 4$
$b = 4 - 3$
$b = 1$

Таким образом, искомые значения параметров равны $a=3$ и $b=1$.
Ответ: $a=3, b=1$.

40.25. Запишите уравнение касательной к графику функции $f(x)=2x^2+2$, если эта касательная проходит через точку $M(0; 1)$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = 2x^2 + 2$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x^2 + 2)' = 4x$.

Пусть $(x_0, f(x_0))$ — точка касания. Тогда уравнение касательной в этой точке будет:

$f(x_0) = 2x_0^2 + 2$

$f'(x_0) = 4x_0$

Подставим эти выражения в общее уравнение касательной:

$y = (2x_0^2 + 2) + 4x_0(x - x_0)$

По условию задачи, эта касательная проходит через точку $M(0; 1)$. Это означает, что координаты точки M должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = 0$ и $y = 1$ в полученное уравнение:

$1 = (2x_0^2 + 2) + 4x_0(0 - x_0)$

Решим это уравнение относительно $x_0$, чтобы найти абсциссы точек касания.

$1 = 2x_0^2 + 2 - 4x_0^2$

$1 = 2 - 2x_0^2$

$2x_0^2 = 2 - 1$

$2x_0^2 = 1$

$x_0^2 = \frac{1}{2}$

Отсюда получаем два возможных значения для $x_0$:

$x_{0,1} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x_{0,2} = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это означает, что существуют две касательные к графику функции, проходящие через точку $M(0; 1)$. Найдем уравнение для каждой из них.

Для первого значения $x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2 = 2 \cdot \frac{2}{4} + 2 = 1 + 2 = 3$

$f'(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Уравнение первой касательной:

$y = 3 + 2\sqrt{2}(x - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 + 2\sqrt{2}x - 2 = 2\sqrt{2}x + 1$

Для второго значения $x_0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2 = 2 \cdot \frac{2}{4} + 2 = 1 + 2 = 3$

$f'(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2}$

Уравнение второй касательной:

$y = 3 - 2\sqrt{2}(x - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = 3 - 2\sqrt{2}(x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 - 2\sqrt{2}x - 2 = -2\sqrt{2}x + 1$

Ответ: $y = 2\sqrt{2}x + 1$ и $y = -2\sqrt{2}x + 1$.

40.26. В какой точке графика функции $f(x) = \frac{4x - 1}{x}$ надо провести касательную, чтобы эта касательная проходила через начало координат?

Пусть $M(x_0, y_0)$ — искомая точка касания на графике функции $f(x) = \frac{4x - 1}{x}$. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:$f(x_0) = \frac{4x_0 - 1}{x_0}$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Для удобства представим функцию в виде $f(x) = 4 - \frac{1}{x} = 4 - x^{-1}$.$f'(x) = (4 - x^{-1})' = 0 - (-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Значение производной в точке $x_0$ равно:$f'(x_0) = \frac{1}{x_0^2}$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:$y = \frac{4x_0 - 1}{x_0} + \frac{1}{x_0^2}(x - x_0)$.

По условию, эта касательная проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставим координаты этой точки ($x=0, y=0$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:$0 = \frac{4x_0 - 1}{x_0} + \frac{1}{x_0^2}(0 - x_0)$.

Упростим полученное уравнение:$0 = \frac{4x_0 - 1}{x_0} - \frac{x_0}{x_0^2}$$0 = \frac{4x_0 - 1}{x_0} - \frac{1}{x_0}$$0 = \frac{4x_0 - 1 - 1}{x_0}$$0 = \frac{4x_0 - 2}{x_0}$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.$4x_0 - 2 = 0$ и $x_0 \neq 0$.$4x_0 = 2$$x_0 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Мы нашли абсциссу точки касания. Теперь найдем ординату, подставив $x_0 = \frac{1}{2}$ в исходную функцию:$y_0 = f(\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot \frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2 - 1}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

Таким образом, искомая точка на графике функции, в которой нужно провести касательную, имеет координаты $(\frac{1}{2}, 2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; 2)$

40.27. Две перпендикулярные касательные к графику функции $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x^2$ пересекаются в точке A, которая принадлежит оси ординат. Найдите координаты точки A.

Пусть две касательные к графику функции $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x^2$ проведены в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$.

1. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Найдем производную функции:

$f'(x) = (3 - \frac{1}{2}x^2)' = -x$.

Следовательно, угловые коэффициенты двух касательных равны $k_1 = f'(x_1) = -x_1$ и $k_2 = f'(x_2) = -x_2$.

2. По условию задачи, касательные перпендикулярны. Условием перпендикулярности двух прямых является равенство произведения их угловых коэффициентов -1:

$k_1 \cdot k_2 = -1$

$(-x_1) \cdot (-x_2) = -1$

$x_1 x_2 = -1$

3. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Запишем уравнения для наших двух касательных.

Касательная 1 (в точке $x_1$): $y = (3 - \frac{1}{2}x_1^2) + (-x_1)(x - x_1) = 3 - \frac{1}{2}x_1^2 - x_1x + x_1^2 = -x_1x + 3 + \frac{1}{2}x_1^2$.

Касательная 2 (в точке $x_2$): $y = (3 - \frac{1}{2}x_2^2) + (-x_2)(x - x_2) = -x_2x + 3 + \frac{1}{2}x_2^2$.

4. Касательные пересекаются в точке A, которая принадлежит оси ординат. Это означает, что абсцисса точки A равна 0. Пусть координаты точки A равны $(0, y_A)$. Поскольку точка A лежит на обеих касательных, ее координаты должны удовлетворять уравнениям обеих прямых.

Подставим $x = 0$ и $y = y_A$ в уравнение первой касательной:

$y_A = -x_1 \cdot 0 + 3 + \frac{1}{2}x_1^2 \implies y_A = 3 + \frac{1}{2}x_1^2$.

Подставим $x = 0$ и $y = y_A$ в уравнение второй касательной:

$y_A = -x_2 \cdot 0 + 3 + \frac{1}{2}x_2^2 \implies y_A = 3 + \frac{1}{2}x_2^2$.

5. Мы получили систему уравнений:

$ \begin{cases} y_A = 3 + \frac{1}{2}x_1^2 \\ y_A = 3 + \frac{1}{2}x_2^2 \\ x_1 x_2 = -1 \end{cases} $

Из первых двух уравнений следует:

$3 + \frac{1}{2}x_1^2 = 3 + \frac{1}{2}x_2^2$

$x_1^2 = x_2^2$

Это означает, что $x_1 = x_2$ или $x_1 = -x_2$. Поскольку касательные перпендикулярны, они не могут быть одной и той же прямой, значит, точки касания различны, и $x_1 \ne x_2$. Следовательно, $x_1 = -x_2$.

6. Подставим соотношение $x_1 = -x_2$ в третье уравнение системы $x_1 x_2 = -1$:

$(-x_2) \cdot x_2 = -1$

$-x_2^2 = -1$

$x_2^2 = 1$

Отсюда $x_2 = 1$ или $x_2 = -1$. Тогда абсциссы точек касания равны 1 и -1.

7. Теперь найдем ординату точки A, подставив $x_1^2 = 1$ (или $x_2^2 = 1$) в выражение для $y_A$:

$y_A = 3 + \frac{1}{2}x_1^2 = 3 + \frac{1}{2}(1) = 3 + 0,5 = 3,5$.

Координаты точки A равны $(0, 3,5)$.

Ответ: $(0; 3,5)$.

40.28. Две перпендикулярные касательные к графику функции $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}$ пересекаются в точке A, которая принадлежит оси ординат. Найдите координаты точки А.

Пусть $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}$ — данная функция. Две касательные к графику этой функции пересекаются в точке A, которая принадлежит оси ординат. Это означает, что абсцисса точки A равна нулю, то есть её координаты можно записать как $(0, y_A)$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ в общем виде выглядит так: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для начала найдём производную данной функции, чтобы определить угловой коэффициент касательной: $f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2})' = \frac{1}{2} \cdot 2x - 0 = x$. Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $k = f'(x_0) = x_0$.

Пусть наши две касательные касаются графика функции в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Их угловые коэффициенты будут равны $k_1 = x_1$ и $k_2 = x_2$. По условию задачи, касательные перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1. $k_1 \cdot k_2 = -1 \Rightarrow x_1 \cdot x_2 = -1$.

Теперь запишем уравнение касательной для нашей функции в точке $x_0$: $y = (\frac{1}{2}x_0^2 - \frac{5}{2}) + x_0(x - x_0)$ $y = \frac{1}{2}x_0^2 - \frac{5}{2} + x_0x - x_0^2$ $y = x_0x - \frac{1}{2}x_0^2 - \frac{5}{2}$.

Обе касательные проходят через точку A$(0, y_A)$, значит, её координаты удовлетворяют уравнениям обеих касательных. Подставим $x=0$ и $y=y_A$ в общее уравнение касательной: $y_A = x_0 \cdot 0 - \frac{1}{2}x_0^2 - \frac{5}{2}$, откуда получаем $y_A = -\frac{1}{2}x_0^2 - \frac{5}{2}$.

Это соотношение справедливо для обеих точек касания $x_1$ и $x_2$: $y_A = -\frac{1}{2}x_1^2 - \frac{5}{2}$ (1) $y_A = -\frac{1}{2}x_2^2 - \frac{5}{2}$ (2)

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим: $-\frac{1}{2}x_1^2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}x_2^2 - \frac{5}{2}$ $-\frac{1}{2}x_1^2 = -\frac{1}{2}x_2^2$ $x_1^2 = x_2^2$. Это равенство означает, что либо $x_1 = x_2$, либо $x_1 = -x_2$. Так как речь идет о двух разных касательных, точки касания должны быть разными, поэтому $x_1 \neq x_2$. Следовательно, $x_1 = -x_2$.

Теперь вернемся к условию перпендикулярности $x_1 \cdot x_2 = -1$. Подставим в него $x_2 = -x_1$: $x_1 \cdot (-x_1) = -1$ $-x_1^2 = -1$ $x_1^2 = 1$.

Наконец, найдем ординату точки A, подставив значение $x_1^2 = 1$ в уравнение (1): $y_A = -\frac{1}{2}x_1^2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}(1) - \frac{5}{2} = -\frac{1+5}{2} = -\frac{6}{2} = -3$.

Таким образом, координаты точки A равны $(0, -3)$.

Ответ: $(0; -3)$

40.29. При каких значениях $a$ прямая $y = ax + 1$ является касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x + 1}$?

Для того чтобы прямая $y = ax + 1$ была касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x + 1}$ в некоторой точке с абсциссой $x_0$, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. Значения функции и прямой в точке касания должны быть равны: $f(x_0) = ax_0 + 1$.
2. Угловой коэффициент прямой (равный $a$) должен быть равен значению производной функции в точке касания: $a = f'(x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \sqrt{4x + 1}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = (\sqrt{4x + 1})' = ((4x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(4x+1)^{-1/2} \cdot (4x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{4x+1}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x+1}}$

Теперь составим систему уравнений на основе двух условий касания в точке $x_0$:

$\begin{cases}\sqrt{4x_0 + 1} = ax_0 + 1 & (1) \\a = \frac{2}{\sqrt{4x_0 + 1}} & (2)\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\sqrt{4x_0 + 1}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю, то должно выполняться условие $a > 0$.

$\sqrt{4x_0 + 1} = \frac{2}{a}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы (1):

$\frac{2}{a} = ax_0 + 1$

Чтобы найти $x_0$, возведем в квадрат обе части выражения $\sqrt{4x_0 + 1} = \frac{2}{a}$:

$4x_0 + 1 = \frac{4}{a^2}$

$4x_0 = \frac{4}{a^2} - 1$

$x_0 = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{4}$

Теперь подставим полученное выражение для $x_0$ в уравнение $\frac{2}{a} = ax_0 + 1$:

$\frac{2}{a} = a \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{4}\right) + 1$

$\frac{2}{a} = \frac{a}{a^2} - \frac{a}{4} + 1$

$\frac{2}{a} = \frac{1}{a} - \frac{a}{4} + 1$

Упростим уравнение, перенеся все члены в одну сторону:

$\frac{2}{a} - \frac{1}{a} + \frac{a}{4} - 1 = 0$

$\frac{1}{a} + \frac{a}{4} - 1 = 0$

Для избавления от знаменателей умножим обе части уравнения на $4a$ (так как $a \neq 0$):

$4a \cdot \frac{1}{a} + 4a \cdot \frac{a}{4} - 4a \cdot 1 = 0$

$4 + a^2 - 4a = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде:

$a^2 - 4a + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(a - 2)^2 = 0$

Отсюда находим единственное возможное значение для $a$:

$a - 2 = 0 \implies a = 2$

Полученное значение $a=2$ удовлетворяет ранее установленному условию $a > 0$.

Ответ: $a=2$.

40.30. При каких значениях $a$ прямая $y = 2x + a$ является касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x-1}$?

Для того чтобы прямая $y = 2x + a$ являлась касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x-1}$, необходимо выполнение двух условий в точке касания $x_0$:
1. Значение производной функции в точке $x_0$ должно быть равно угловому коэффициенту касательной.
2. Точка касания $(x_0, f(x_0))$ должна лежать на касательной.

Угловой коэффициент данной прямой $y = 2x + a$ равен $k=2$.

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{4x-1}$:
$f'(x) = (\sqrt{4x-1})' = ((4x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(4x-1)^{-1/2} \cdot (4x-1)' = \frac{1}{2\sqrt{4x-1}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x-1}}$.

Теперь, используя первое условие, приравняем производную к угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 2$
$\frac{2}{\sqrt{4x_0-1}} = 2$
Разделим обе части на 2:
$\frac{1}{\sqrt{4x_0-1}} = 1$
$\sqrt{4x_0-1} = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$4x_0-1 = 1$
$4x_0 = 2$
$x_0 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = \frac{1}{2}$ в исходную функцию:
$y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{2}) = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{1}{2}; 1)$.

Используя второе условие, подставим координаты точки касания в уравнение прямой $y = 2x + a$, чтобы найти значение $a$:
$1 = 2 \cdot \frac{1}{2} + a$
$1 = 1 + a$
$a = 0$.

Следовательно, при $a=0$ прямая $y=2x$ является касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x-1}$.

Ответ: $a=0$.

40.31. Найдите уравнение общей касательной к графикам функций $f(x) = x^2 - 2x + 5$ и $g(x) = x^2 + 2x - 11$.

Пусть уравнение общей касательной имеет вид $y = kx + b$. Пусть $x_1$ — абсцисса точки касания с графиком функции $f(x)$, а $x_2$ — абсцисса точки касания с графиком функции $g(x)$.

Условие касания прямой и графика функции в точке заключается в равенстве их значений и значений их производных в этой точке.

Найдем производные заданных функций:
$f'(x) = (x^2 - 2x + 5)' = 2x - 2$
$g'(x) = (x^2 + 2x - 11)' = 2x + 2$

Так как касательная одна и та же, то ее угловой коэффициент $k$ равен значению производной в точке касания для обеих функций.
$k = f'(x_1) = 2x_1 - 2$
$k = g'(x_2) = 2x_2 + 2$
Приравнивая выражения для $k$, получаем первое уравнение системы:
$2x_1 - 2 = 2x_2 + 2$
$2x_1 = 2x_2 + 4$
$x_1 = x_2 + 2$

Теперь запишем уравнения касательных к графикам функций $f(x)$ и $g(x)$ в точках $x_1$ и $x_2$ соответственно, используя общую формулу $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Для $f(x)$:
$y = f(x_1) + f'(x_1)(x - x_1) = (x_1^2 - 2x_1 + 5) + (2x_1 - 2)(x - x_1)$
$y = (2x_1 - 2)x - 2x_1^2 + 2x_1 + x_1^2 - 2x_1 + 5$
$y = (2x_1 - 2)x - x_1^2 + 5$
Отсюда $k = 2x_1 - 2$ и $b = -x_1^2 + 5$.

Для $g(x)$:
$y = g(x_2) + g'(x_2)(x - x_2) = (x_2^2 + 2x_2 - 11) + (2x_2 + 2)(x - x_2)$
$y = (2x_2 + 2)x - 2x_2^2 - 2x_2 + x_2^2 + 2x_2 - 11$
$y = (2x_2 + 2)x - x_2^2 - 11$
Отсюда $k = 2x_2 + 2$ и $b = -x_2^2 - 11$.

Поскольку касательная общая, свободные члены $b$ в уравнениях касательных должны быть равны. Это дает нам второе уравнение системы:
$-x_1^2 + 5 = -x_2^2 - 11$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} x_1 = x_2 + 2 \\ -x_1^2 + 5 = -x_2^2 - 11 \end{cases}$
Подставим выражение для $x_1$ из первого уравнения во второе:
$-(x_2 + 2)^2 + 5 = -x_2^2 - 11$
$-(x_2^2 + 4x_2 + 4) + 5 = -x_2^2 - 11$
$-x_2^2 - 4x_2 - 4 + 5 = -x_2^2 - 11$
$-x_2^2 - 4x_2 + 1 = -x_2^2 - 11$
$-4x_2 + 1 = -11$
$-4x_2 = -12$
$x_2 = 3$

Теперь найдем $x_1$:
$x_1 = x_2 + 2 = 3 + 2 = 5$

Зная $x_1$ и $x_2$, мы можем найти коэффициенты $k$ и $b$ уравнения касательной $y = kx + b$.
$k = 2x_1 - 2 = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8$
$b = -x_1^2 + 5 = -5^2 + 5 = -25 + 5 = -20$
Проверим, используя $x_2$:
$k = 2x_2 + 2 = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8$
$b = -x_2^2 - 11 = -3^2 - 11 = -9 - 11 = -20$
Коэффициенты совпадают.

Таким образом, уравнение общей касательной: $y = 8x - 20$.

Ответ: $y = 8x - 20$.