Номер 40.28, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.28. Две перпендикулярные касательные к графику функции $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}$ пересекаются в точке A, которая принадлежит оси ординат. Найдите координаты точки А.

Пусть $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}$ — данная функция. Две касательные к графику этой функции пересекаются в точке A, которая принадлежит оси ординат. Это означает, что абсцисса точки A равна нулю, то есть её координаты можно записать как $(0, y_A)$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ в общем виде выглядит так: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для начала найдём производную данной функции, чтобы определить угловой коэффициент касательной: $f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2})' = \frac{1}{2} \cdot 2x - 0 = x$. Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $k = f'(x_0) = x_0$.

Пусть наши две касательные касаются графика функции в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Их угловые коэффициенты будут равны $k_1 = x_1$ и $k_2 = x_2$. По условию задачи, касательные перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1. $k_1 \cdot k_2 = -1 \Rightarrow x_1 \cdot x_2 = -1$.

Теперь запишем уравнение касательной для нашей функции в точке $x_0$: $y = (\frac{1}{2}x_0^2 - \frac{5}{2}) + x_0(x - x_0)$ $y = \frac{1}{2}x_0^2 - \frac{5}{2} + x_0x - x_0^2$ $y = x_0x - \frac{1}{2}x_0^2 - \frac{5}{2}$.

Обе касательные проходят через точку A$(0, y_A)$, значит, её координаты удовлетворяют уравнениям обеих касательных. Подставим $x=0$ и $y=y_A$ в общее уравнение касательной: $y_A = x_0 \cdot 0 - \frac{1}{2}x_0^2 - \frac{5}{2}$, откуда получаем $y_A = -\frac{1}{2}x_0^2 - \frac{5}{2}$.

Это соотношение справедливо для обеих точек касания $x_1$ и $x_2$: $y_A = -\frac{1}{2}x_1^2 - \frac{5}{2}$ (1) $y_A = -\frac{1}{2}x_2^2 - \frac{5}{2}$ (2)

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим: $-\frac{1}{2}x_1^2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}x_2^2 - \frac{5}{2}$ $-\frac{1}{2}x_1^2 = -\frac{1}{2}x_2^2$ $x_1^2 = x_2^2$. Это равенство означает, что либо $x_1 = x_2$, либо $x_1 = -x_2$. Так как речь идет о двух разных касательных, точки касания должны быть разными, поэтому $x_1 \neq x_2$. Следовательно, $x_1 = -x_2$.

Теперь вернемся к условию перпендикулярности $x_1 \cdot x_2 = -1$. Подставим в него $x_2 = -x_1$: $x_1 \cdot (-x_1) = -1$ $-x_1^2 = -1$ $x_1^2 = 1$.

Наконец, найдем ординату точки A, подставив значение $x_1^2 = 1$ в уравнение (1): $y_A = -\frac{1}{2}x_1^2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}(1) - \frac{5}{2} = -\frac{1+5}{2} = -\frac{6}{2} = -3$.

Таким образом, координаты точки A равны $(0, -3)$.

Ответ: $(0; -3)$