Номер 41.1, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$;

2) $f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x$;

3) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$;

4) $f(x) = x^3 + 4x - 8$.

1) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определим знаки производной на полученных интервалах.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2x^3 - 3x^2 + 1)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 0 = 6x^2 - 6x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^2 - 6x = 0$

$6x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

3. Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = 6x(x-1)$ на каждом из них. Если $f'(x) > 0$, функция возрастает, если $f'(x) < 0$, функция убывает.

На промежутке $(-\infty; 0)$, например при $x = -1$, имеем $f'(-1) = 6(-1)(-1-1) = 12 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На промежутке $(0; 1)$, например при $x = 0.5$, имеем $f'(0.5) = 6(0.5)(0.5-1) = -1.5 < 0$, следовательно, функция убывает.

На промежутке $(1; +\infty)$, например при $x = 2$, имеем $f'(2) = 6(2)(2-1) = 12 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$ и убывает на промежутке $[0; 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 1]$.

2) $f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-x^3 + 9x^2 + 21x)' = -3x^2 + 18x + 21$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-3x^2 + 18x + 21 = 0$

Разделим уравнение на -3:

$x^2 - 6x - 7 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$.

3. Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 7)$ и $(7; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = -3(x+1)(x-7)$ на каждом из них.

На промежутке $(-\infty; -1)$, например при $x = -2$, имеем $f'(-2) = -3(-2)^2 + 18(-2) + 21 = -12 - 36 + 21 = -27 < 0$, следовательно, функция убывает.

На промежутке $(-1; 7)$, например при $x = 0$, имеем $f'(0) = 21 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На промежутке $(7; +\infty)$, например при $x = 8$, имеем $f'(8) = -3(8)^2 + 18(8) + 21 = -192 + 144 + 21 = -27 < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[7; +\infty)$ и возрастает на промежутке $[-1; 7]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 7]$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[7; +\infty)$.

3) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Эти точки делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = 4x(x-1)(x+1)$ на каждом из них.

На промежутке $(-\infty; -1)$, например при $x = -2$, имеем $f'(-2) = 4(-2)((-2)^2-1) = -8(3) = -24 < 0$, следовательно, функция убывает.

На промежутке $(-1; 0)$, например при $x = -0.5$, имеем $f'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2-1) = -2(0.25-1) = 1.5 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На промежутке $(0; 1)$, например при $x = 0.5$, имеем $f'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2-1) = 2(0.25-1) = -1.5 < 0$, следовательно, функция убывает.

На промежутке $(1; +\infty)$, например при $x = 2$, имеем $f'(2) = 4(2)(2^2-1) = 8(3) = 24 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$ и убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

4) $f(x) = x^3 + 4x - 8$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 4x - 8)' = 3x^2 + 4$.

2. Попытаемся найти критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 4 = 0$

$3x^2 = -4$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), а значит $3x^2 \ge 0$, и выражение $3x^2+4$ не может быть равно нулю.

3. Определим знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, и $f'(x) = 3x^2 + 4 \ge 4$. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции положительна на всей числовой оси, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.