Номер 41.4, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4$;

2) $f(x) = 3x + \frac{12}{x^2}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$;

4) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$.

1) $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную.
Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$f'(x) = (9 + 4x^3 - x^4)' = 12x^2 - 4x^3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$12x^2 - 4x^3 = 0$
$4x^2(3 - x) = 0$
Отсюда получаем $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак производной в каждом промежутке:

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x = -1$, $f'(-1) = 12(-1)^2 - 4(-1)^3 = 12 + 4 = 16 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 3)$, например $x = 1$, $f'(1) = 12(1)^2 - 4(1)^3 = 12 - 4 = 8 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (3; +\infty)$, например $x = 4$, $f'(4) = 12(4)^2 - 4(4)^3 = 12 \cdot 16 - 4 \cdot 64 = 192 - 256 = -64 < 0$, функция убывает.

Так как в точке $x = 0$ функция непрерывна, а производная слева и справа от нее положительна, то промежутки возрастания $(-\infty; 0)$ и $(0; 3)$ можно объединить.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$ и убывает на промежутке $[3; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; 3]$ и убывает на $[3; +\infty)$.

2) $f(x) = 3x + \frac{12}{x^2}$

Область определения функции: $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (3x + 12x^{-2})' = 3 - 24x^{-3} = 3 - \frac{24}{x^3}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3 - \frac{24}{x^3} = 0$
$3 = \frac{24}{x^3}$
$x^3 = \frac{24}{3} = 8$
$x = 2$.
Производная не существует в точке $x = 0$, которая не входит в область определения функции.
Точки $x=0$ и $x=2$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак производной в каждом промежутке:

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x = -1$, $f'(-1) = 3 - \frac{24}{(-1)^3} = 3 + 24 = 27 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, например $x = 1$, $f'(1) = 3 - \frac{24}{1^3} = 3 - 24 = -21 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$, $f'(3) = 3 - \frac{24}{3^3} = 3 - \frac{24}{27} > 0$, функция возрастает.

Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; 2]$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$, убывает на $(0; 2]$.

3) $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$

Область определения функции: $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Найдем производную функции, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^2 + 5x)'(x-4) - (x^2+5x)(x-4)'}{(x-4)^2} = \frac{(2x+5)(x-4) - (x^2+5x)(1)}{(x-4)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^2 - 8x + 5x - 20 - x^2 - 5x}{(x-4)^2} = \frac{x^2 - 8x - 20}{(x-4)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Это эквивалентно тому, что числитель равен нулю:
$x^2 - 8x - 20 = 0$.
Используя теорему Виета или дискриминант, находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 10$.
(Дискриминант $D = (-8)^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$. $x_{1,2} = \frac{8 \pm 12}{2}$).
Производная не существует в точке $x = 4$, которая не входит в область определения функции.
Точки $x=-2, x=4, x=10$ делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -2)$, $(-2; 4)$, $(4; 10)$ и $(10; +\infty)$.
Знаменатель производной $(x-4)^2$ всегда положителен (кроме $x=4$), поэтому знак производной совпадает со знаком числителя $x^2 - 8x - 20$. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось OX в точках -2 и 10.

• При $x \in (-\infty; -2)$, числитель положителен, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-2; 4)$, числитель отрицателен, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4; 10)$, числитель отрицателен, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (10; +\infty)$, числитель положителен, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[10; +\infty)$, убывает на промежутках $[-2; 4)$ и $(4; 10]$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и $[10; +\infty)$, убывает на $[-2; 4)$ и $(4; 10]$.

4) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$

Область определения функции: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2-4) - x^2(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4) - x^2(2x)}{(x^2-4)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3}{(x^2-4)^2} = \frac{-8x}{(x^2-4)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$\frac{-8x}{(x^2-4)^2} = 0$.
$-8x = 0 \implies x = 0$.
Производная не существует в точках $x = -2$ и $x = 2$, которые не входят в область определения функции.
Точки $x=-2, x=0, x=2$ делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Знаменатель производной $(x^2-4)^2$ всегда положителен (кроме $x=\pm 2$), поэтому знак производной совпадает со знаком числителя $-8x$.

• При $x \in (-\infty; -2)$, числитель $-8x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-2; 0)$, числитель $-8x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, числитель $-8x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, числитель $-8x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0]$, убывает на промежутках $[0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0]$, убывает на $[0; 2)$ и $(2; +\infty)$.