Номер 41.10, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.10. Докажите, что функция является убывающей:

1) $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$;

2) $f(x) = \sin 2x - 3x$.

1) $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$

Чтобы доказать, что функция является убывающей, нужно найти ее производную и показать, что она неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех значений $x$ из области определения функции.

Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3)' = 0 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 2x - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -x^2 + x - 1$.

Теперь исследуем знак производной $f'(x) = -x^2 + x - 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1 < 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $-x^2 + x - 1$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент отрицателен ($a < 0$), квадратный трехчлен принимает только отрицательные значения при всех действительных $x$.

Следовательно, $f'(x) = -x^2 + x - 1 < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Так как производная функции строго отрицательна на всей области определения, функция $f(x)$ является строго убывающей. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что функция является убывающей.

2) $f(x) = \sin 2x - 3x$

Аналогично первому пункту, найдем производную функции и определим ее знак. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin 2x - 3x)' = (\cos 2x) \cdot (2x)' - 3 = 2\cos 2x - 3$.

Теперь исследуем знак производной $f'(x) = 2\cos 2x - 3$.

Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство:

$-1 \le \cos 2x \le 1$.

Умножим все части этого двойного неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos 2x \le 2$.

Теперь вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-2 - 3 \le 2\cos 2x - 3 \le 2 - 3$.

$-5 \le f'(x) \le -1$.

Полученное неравенство показывает, что производная $f'(x)$ всегда принимает отрицательные значения, так как ее значения лежат в отрезке $[-5, -1]$.

Поскольку $f'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $f(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что функция является убывающей.