Номер 41.15, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.15. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$, необходимо найти её область определения и исследовать знак её производной.

1. Найдём область определения функции.

Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$x^2 - 1 \ge 0$

$(x - 1)(x + 1) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2 - 1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

Производная $f'(x)$ определена при $x^2 - 1 > 0$, то есть при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь определим знаки производной на полученных интервалах.

Функция возрастает, когда её производная $f'(x) > 0$. Решим неравенство:

$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} > 0$

Знаменатель $\sqrt{x^2 - 1}$ всегда положителен на области определения производной. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство сводится к $x > 0$.

Теперь найдём пересечение этого решения с областью определения функции $D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Решением системы $\begin{cases} x > 0 \\ x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \end{cases}$ является промежуток $[1, \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Функция убывает, когда её производная $f'(x) < 0$. Решим неравенство:

$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} < 0$

Так как знаменатель $\sqrt{x^2 - 1}$ всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство сводится к $x < 0$.

Найдём пересечение этого решения с областью определения функции $D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Решением системы $\begin{cases} x < 0 \\ x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \end{cases}$ является промежуток $(-\infty, -1]$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.