Номер 41.21, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.21. При каких значениях параметра a функция $y = (a + 3)x^3 + 3(a + 3)x^2 - 5x + 12$ убывает на R?

Для того чтобы функция $y(x)$ убывала на всей числовой прямой $R$, необходимо и достаточно, чтобы ее производная $y'(x)$ была неположительна для всех действительных значений $x$, то есть $y'(x) \le 0$.

Дана функция: $y = (a + 3)x^3 + 3(a + 3)x^2 - 5x + 12$.
Найдем ее производную по $x$:
$y' = \frac{d}{dx}((a + 3)x^3 + 3(a + 3)x^2 - 5x + 12) = 3(a + 3)x^2 + 6(a + 3)x - 5$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех значений параметра $a$, при которых неравенство $3(a + 3)x^2 + 6(a + 3)x - 5 \le 0$ выполняется для всех $x \in R$.

Выражение для производной является квадратным трехчленом относительно $x$. Рассмотрим два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
Это происходит при $3(a + 3) = 0$, то есть $a = -3$.
Подставим это значение в выражение для производной:
$y' = 0 \cdot x^2 + 6(-3 + 3)x - 5 = -5$.
Неравенство $y' \le 0$ принимает вид $-5 \le 0$, что является верным для любого $x$.
Следовательно, при $a = -3$ функция убывает на $R$, и это значение параметра является частью решения.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
Это происходит при $a \neq -3$.
В этом случае $y'$ представляет собой квадратичную функцию от $x$. Для того чтобы график этой функции (парабола) был полностью расположен не выше оси абсцисс ($y' \le 0$), необходимо и достаточно выполнение двух условий:
1) Старший коэффициент должен быть отрицательным (ветви параболы направлены вниз).
2) Дискриминант $D$ должен быть неположительным (парабола имеет не более одной общей точки с осью абсцисс).

Рассмотрим эти условия по порядку:
1) $3(a + 3) < 0 \implies a + 3 < 0 \implies a < -3$.
2) Найдем дискриминант:
$D = (6(a + 3))^2 - 4 \cdot (3(a + 3)) \cdot (-5) = 36(a + 3)^2 + 60(a + 3)$.
Решим неравенство $D \le 0$:
$36(a + 3)^2 + 60(a + 3) \le 0$.
Вынесем общий множитель $12(a + 3)$ за скобки:
$12(a + 3)[3(a + 3) + 5] \le 0$.
$(a + 3)(3a + 9 + 5) \le 0$.
$(a + 3)(3a + 14) \le 0$.
Корни левой части: $a_1 = -3$ и $a_2 = -14/3$. Так как ветви параболы $f(a)=(a + 3)(3a + 14)$ направлены вверх, решением неравенства является промежуток между корнями, включая их: $a \in [-14/3, -3]$.

Для второго случая необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Найдем пересечение полученных множеств:
$\begin{cases} a < -3 \\ a \in [-14/3, -3] \end{cases}$
Результатом является полуинтервал $a \in [-14/3, -3)$.

Наконец, объединим решения, полученные в обоих случаях:
Из случая 1: $a = -3$.
Из случая 2: $a \in [-14/3, -3)$.
Объединение этих множеств $a \in [-14/3, -3) \cup \{-3\}$ дает итоговый результат: $a \in [-14/3, -3]$.

Ответ: $a \in [-14/3, -3]$.