Номер 41.24, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.24. Решите уравнение $3x^7 + x + 7 = \sqrt{1 - 8x}$.

Рассмотрим уравнение $3x^7 + x + 7 = \sqrt{1 - 8x}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $1 - 8x \ge 0$. Решая неравенство, получаем: $1 \ge 8x$ $x \le \frac{1}{8}$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, \frac{1}{8}]$.

Для анализа уравнения введем две функции, соответствующие левой и правой его частям: $f(x) = 3x^7 + x + 7$ $g(x) = \sqrt{1 - 8x}$

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную: $f'(x) = (3x^7 + x + 7)' = 21x^6 + 1$. Поскольку $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $21x^6 \ge 0$. Следовательно, $f'(x) = 21x^6 + 1 \ge 1$, то есть $f'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, и в частности на ОДЗ.

Теперь исследуем на монотонность функцию $g(x)$. Найдем ее производную: $g'(x) = (\sqrt{1 - 8x})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - 8x}} \cdot (1 - 8x)' = \frac{-8}{2\sqrt{1 - 8x}} = -\frac{4}{\sqrt{1 - 8x}}$. На области определения $(-\infty, \frac{1}{8})$ знаменатель $\sqrt{1 - 8x}$ всегда положителен. Таким образом, $g'(x)$ является отрицательной для всех $x$ из области определения производной. Это означает, что функция $g(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения.

Уравнение $f(x) = g(x)$ представляет собой равенство строго возрастающей функции $f(x)$ и строго убывающей функции $g(x)$. Графики таких функций могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного решения.

Попробуем найти это единственное решение методом подбора, проверяя целые значения $x$ из ОДЗ. Проверим $x = -1$:
Левая часть: $3(-1)^7 + (-1) + 7 = 3(-1) - 1 + 7 = -3 - 1 + 7 = 3$.
Правая часть: $\sqrt{1 - 8(-1)} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$.
Поскольку левая и правая части уравнения равны $3$, то $x = -1$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение не может иметь более одного корня, и мы нашли этот корень, то $x = -1$ является единственным решением.

Ответ: -1