Номер 41.28, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 41. Признаки возрастания и убывания функции. Глава 5. Производная и её применение - номер 41.28, страница 320.

Условие.

41.28. Решите неравенство $x^5 + 4x < 2x^3 + 3$.

Решение.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить неравенство вида $P(x) < 0$:

$x^5 + 4x - 2x^3 - 3 < 0$

$x^5 - 2x^3 + 4x - 3 < 0$

Обозначим левую часть как многочлен $f(x) = x^5 - 2x^3 + 4x - 3$. Для решения неравенства методом интервалов нам нужно найти корни уравнения $f(x) = 0$.

Попробуем найти целые или рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни следует искать среди делителей свободного члена (числа -3), деленных на делители старшего коэффициента (числа 1). Таким образом, возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 3$.

Проверим $x = 1$:

$f(1) = 1^5 - 2 \cdot 1^3 + 4 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 + 4 - 3 = 0$.

Поскольку $f(1)=0$, то $x=1$ является корнем многочлена. Это означает, что многочлен $f(x)$ делится на двучлен $(x-1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $x^5 - 2x^3 + 4x - 3$ на $(x-1)$ (например, используя схему Горнера или деление столбиком):

$(x^5 + 0x^4 - 2x^3 + 0x^2 + 4x - 3) \div (x - 1) = x^4 + x^3 - x^2 - x + 3$.

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

$(x-1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3) < 0$.

Рассмотрим второй множитель, многочлен $g(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x + 3$, и исследуем его знак.

Докажем, что $g(x) > 0$ для всех действительных значений $x$. Для этого представим $g(x)$ в виде суммы неотрицательных слагаемых и положительной константы:

$g(x) = (x^2 + \frac{x}{2} - 1)^2 + \frac{3}{4}x^2 + 2$.

Проверим правильность этого тождества, раскрыв скобки в правой части:

$(x^2 + \frac{x}{2} - 1)^2 + \frac{3}{4}x^2 + 2 = (x^4 + \frac{x^2}{4} + 1 + x^3 - 2x^2 - x) + \frac{3}{4}x^2 + 2$

$= x^4 + x^3 + (\frac{1}{4} - 2)x^2 - x + 1 + \frac{3}{4}x^2 + 2$

$= x^4 + x^3 - \frac{7}{4}x^2 - x + 1 + \frac{3}{4}x^2 + 2$

$= x^4 + x^3 + (-\frac{7}{4} + \frac{3}{4})x^2 - x + 3$

$= x^4 + x^3 - x^2 - x + 3 = g(x)$.

Тождество верно. Теперь оценим значение $g(x)$:

Поскольку $(x^2 + \frac{x}{2} - 1)^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}x^2 \ge 0$ для любых действительных $x$, то их сумма, сложенная с положительным числом 2, всегда будет положительной:

$g(x) = (x^2 + \frac{x}{2} - 1)^2 + \frac{3}{4}x^2 + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x) > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку второй множитель в неравенстве $(x-1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3) < 0$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на $g(x)$, не меняя при этом знака неравенства:

$x - 1 < 0$

Решая это простое линейное неравенство, получаем:

$x < 1$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.