gdz.top
Номер 41.29, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 41. Признаки возрастания и убывания функции - номер 41.29, страница 320.
№41.28
№41.29 (с. 320)
Условие. №41.29 (с. 320)
41.29. Решите систему уравнений $\begin{cases}x - y = \sin x - \sin y, \\3x + 4y = 7.\end{cases}$
Решение. №41.29 (с. 320)
Рассмотрим данную систему уравнений:
$\begin{cases} x - y = \sin x - \sin y, \\ 3x + 4y = 7. \end{cases}$
Преобразуем первое уравнение системы, сгруппировав слагаемые с $x$ и $y$:
$x - \sin x = y - \sin y$
Рассмотрим функцию $f(t) = t - \sin t$. Тогда первое уравнение системы принимает вид $f(x) = f(y)$.
Для того чтобы определить, при каких условиях выполняется это равенство, исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Найдем ее производную:
$f'(t) = (t - \sin t)' = 1 - \cos t$.
Известно, что значение косинуса находится в пределах от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \cos t \le 1$.
Следовательно, производная $f'(t) = 1 - \cos t$ всегда неотрицательна, $f'(t) \ge 0$ для всех действительных $t$.
Производная обращается в ноль только в тех точках, где $\cos t = 1$, то есть при $t = 2\pi k$, где $k$ — целое число. Поскольку производная неотрицательна и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ возможно тогда и только тогда, когда $x = y$.
Теперь, зная, что $x=y$, подставим это во второе уравнение системы:
$3x + 4y = 7$
$3x + 4x = 7$
$7x = 7$
$x = 1$
Так как $y = x$, то $y = 1$.
Таким образом, единственное решение системы — это пара чисел $(1; 1)$.
Проверка:
Подставим найденные значения $x = 1$ и $y = 1$ в исходную систему уравнений:
$\begin{cases} 1 - 1 = \sin 1 - \sin 1 \\ 3(1) + 4(1) = 7 \end{cases}$
$\begin{cases} 0 = 0 \\ 3 + 4 = 7 \end{cases}$
$\begin{cases} 0 = 0 \\ 7 = 7 \end{cases}$
Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.
Ответ: $(1; 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 41.29 расположенного на странице 320 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №41.29 (с. 320), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.