Номер 41.31, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.31. Докажите, что уравнение $x^n + ax + b = 0$ имеет не больше трёх корней.

Обозначим левую часть уравнения как функцию $f(x) = x^n + ax + b$. Число корней уравнения равно числу нулей этой функции.

Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что данное уравнение имеет по меньшей мере четыре различных действительных корня: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$.

Это означает, что $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = f(x_4) = 0$.

Функция $f(x)$ является многочленом, следовательно, она непрерывна и дифференцируема на всей действительной оси. По теореме Ролля, между любыми двумя корнями функции должен существовать по крайней мере один корень её производной.

Применяя теорему Ролля для функции $f(x)$ на интервалах $(x_1, x_2)$, $(x_2, x_3)$ и $(x_3, x_4)$, мы заключаем, что первая производная $f'(x)$ должна иметь как минимум три различных корня $c_1, c_2, c_3$, где $x_1 < c_1 < x_2 < c_2 < x_3 < c_3 < x_4$.

Теперь рассмотрим вторую производную. Так как $f'(x)$ также является дифференцируемой функцией и имеет не менее трёх корней ($c_1, c_2, c_3$), то по той же теореме Ролля, её производная, то есть вторая производная $f''(x)$, должна иметь по меньшей мере два различных корня $d_1$ и $d_2$, где $c_1 < d_1 < c_2 < d_2 < c_3$.

Теперь найдем вторую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^n + ax + b)' = nx^{n-1} + a$

$f''(x) = (nx^{n-1} + a)' = n(n-1)x^{n-2}$

Рассмотрим уравнение $f''(x) = 0$, то есть $n(n-1)x^{n-2} = 0$.

Проанализируем количество его корней в зависимости от натурального числа $n$.

1. Если $n=1$, исходное уравнение $x + ax + b = 0$ является линейным и имеет не более одного корня.

2. Если $n=2$, исходное уравнение $x^2 + ax + b = 0$ является квадратным и имеет не более двух корней.

3. Если $n > 2$, то $n(n-1) \ne 0$. Уравнение $n(n-1)x^{n-2} = 0$ сводится к $x^{n-2} = 0$, единственным действительным корнем которого является $x=0$.

Таким образом, для любого натурального $n$ вторая производная $f''(x)$ имеет не более одного действительного корня. Это напрямую противоречит нашему выводу, основанному на предположении о четырёх корнях, что $f''(x)$ должна иметь не менее двух корней.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, уравнение $x^n + ax + b = 0$ не может иметь четыре или более корня.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение $x^n + ax + b = 0$ имеет не более трёх корней.