gdz.top
Номер 41.26, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 41. Признаки возрастания и убывания функции - номер 41.26, страница 320.
№41.25
№41.26 (с. 320)
Условие. №41.26 (с. 320)
41.26. Решите уравнение $x^3 + 2x = \sin x$.
Решение. №41.26 (с. 320)
Рассмотрим уравнение $x^3 + 2x = \sin x$.
Заметим, что $x=0$ является решением, так как при подстановке в уравнение мы получаем верное равенство:
$0^3 + 2 \cdot 0 = \sin 0$
$0 = 0$
Чтобы доказать, что это решение единственное, перепишем уравнение в виде $x^3 + 2x - \sin x = 0$ и рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 2x - \sin x$. Нам нужно найти все корни уравнения $f(x) = 0$.
Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 + 2x - \sin x)' = 3x^2 + 2 - \cos x$
Оценим знак производной. Выражение $3x^2$ всегда неотрицательно, то есть $3x^2 \ge 0$. Область значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le \cos x \le 1$. Отсюда следует, что минимальное значение выражения $2 - \cos x$ равно $2 - 1 = 1$.
Таким образом, мы можем оценить производную снизу:
$f'(x) = 3x^2 + (2 - \cos x) \ge 0 + 1 = 1$
Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна ($f'(x) \ge 1 > 0$), функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение, равное нулю) не более одного раза. Так как мы уже нашли, что $f(0)=0$, то $x=0$ является единственным корнем уравнения.
Ответ: $0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 41.26 расположенного на странице 320 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №41.26 (с. 320), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.