gdz.top
Номер 41.25, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 41. Признаки возрастания и убывания функции - номер 41.25, страница 320.
№41.24
№41.25 (с. 320)
Условие. №41.25 (с. 320)
41.25. Решите уравнение $x^5 + 4x + \cos x = 1$.
Решение. №41.25 (с. 320)
Рассмотрим данное уравнение: $x^5 + 4x + \cos x = 1$.
Для решения перенесем все слагаемые в одну сторону и введем функцию $f(x)$:
$f(x) = x^5 + 4x + \cos x - 1$.
Теперь задача сводится к нахождению корней уравнения $f(x) = 0$.
Попробуем найти один из корней методом подбора. Проверим значение $x=0$:
$f(0) = 0^5 + 4 \cdot 0 + \cos(0) - 1 = 0 + 0 + 1 - 1 = 0$.
Таким образом, $x=0$ является корнем данного уравнения.
Чтобы выяснить, существуют ли другие корни, исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную:
$f'(x) = (x^5 + 4x + \cos x - 1)' = 5x^4 + 4 - \sin x$.
Теперь оценим знак производной. Нам известно, что:
- $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, следовательно, $5x^4 \ge 0$.
- Функция синус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.
Используя эти свойства, мы можем оценить минимальное значение производной:
$f'(x) = 5x^4 + 4 - \sin x$.
Наименьшее значение $5x^4$ равно $0$. Наибольшее значение $\sin x$ равно $1$.
Тогда $f'(x) \ge 0 + 4 - 1 = 3$.
Поскольку $f'(x) \ge 3$, производная функции всегда положительна ($f'(x) > 0$) для любого значения $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.
Строго монотонная функция может принимать каждое свое значение только один раз. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Так как мы уже нашли корень $x=0$, он является единственным.
Ответ: $0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 41.25 расположенного на странице 320 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №41.25 (с. 320), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.