Номер 41.20, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.20. При каких значениях параметра $c$ функция $f(x) = (c - 12)x^3 + 3(c - 12)x^2 + 6x + 7$ возрастает на $R$?

Функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой $R$ тогда и только тогда, когда ее производная $f'(x)$ неотрицательна для всех $x \in R$, то есть выполняется условие $f'(x) \ge 0$.

1. Найдем производную функции.

Дана функция $f(x) = (c - 12)x^3 + 3(c - 12)x^2 + 6x + 7$.

Ее производная равна:

$f'(x) = ((c - 12)x^3 + 3(c - 12)x^2 + 6x + 7)' = 3(c - 12)x^2 + 6(c - 12)x + 6$.

2. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$.

Нам нужно, чтобы неравенство $3(c - 12)x^2 + 6(c - 12)x + 6 \ge 0$ выполнялось для всех действительных значений $x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит при $c - 12 = 0$, то есть $c = 12$.

В этом случае производная принимает вид:

$f'(x) = 3(0)x^2 + 6(0)x + 6 = 6$.

Неравенство $6 \ge 0$ верно для всех $x \in R$. Следовательно, значение $c = 12$ является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит при $c - 12 \ne 0$, то есть $c \ne 12$.

В этом случае $f'(x)$ является квадратичной функцией. График этой функции — парабола. Чтобы парабола была расположена не ниже оси абсцисс (то есть $f'(x) \ge 0$ для всех $x$), необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вверх, а дискриминант был неположительным.

Это приводит к системе из двух условий:

$\begin{cases} 3(c - 12) > 0 \\ D \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$c - 12 > 0 \implies c > 12$.

Теперь найдем дискриминант $D$ для квадратного трехчлена $3(c - 12)x^2 + 6(c - 12)x + 6$:

$D = (6(c - 12))^2 - 4 \cdot (3(c - 12)) \cdot 6 = 36(c - 12)^2 - 72(c - 12)$.

Решим второе неравенство $D \le 0$:

$36(c - 12)^2 - 72(c - 12) \le 0$.

Вынесем общий множитель $36(c - 12)$ за скобки:

$36(c - 12)((c - 12) - 2) \le 0$.

$36(c - 12)(c - 14) \le 0$.

Разделив обе части на 36, получим:

$(c - 12)(c - 14) \le 0$.

Решением этого неравенства является отрезок $12 \le c \le 14$.

Теперь объединим два условия для этого случая:

$\begin{cases} c > 12 \\ 12 \le c \le 14 \end{cases}$

Решением этой системы является полуинтервал $12 < c \le 14$.

3. Объединим решения из обоих случаев.

В первом случае мы получили $c = 12$.

Во втором случае мы получили $12 < c \le 14$.

Объединяя эти результаты, получаем, что функция возрастает на $R$ при $c \in [12, 14]$.

Ответ: $c \in [12, 14]$.